树的直径

树的直径

• 【定义】
• 我们将一棵树T=(V,E)的直径定义为max(u,v),也就是说，树中所有最短路径距离的最大值即为树的直径。
• 【做法】
  对于树的直径呢,我们老师给我们介绍了两种做法,一种是用两次bfs(或者dfs),另一种是用树形DP

1、两次bfs（或者dfs）
方法：先从任意一点P出发，找离它最远的点Q，再从点Q出发，找离它最远的点W，W到Q的距离就是是的直径

• 证:
  ①若P已经在直径上，根据树的直径的定义可知Q也在直径上且为直径的一个端点
  ②若P不在直径上，我们用反证法，假设此时WQ不是直径，AB是直径
  ——>若AB与PQ有交点C，由于P到Q最远，那么PC+CQ>PC+CA，所以CQ>CA，易得CQ+CB>CA+CB，即CQ+CB>AB，与AB是直径矛盾，不成立。
  ——>若AB与PQ没有交点，M为AB上任意一点，N为PQ上任意一点。首先还是NP+NQ>NQ+MN+MB，同时减掉NQ，得NP>MN+MB，易知NP+MN>MB，所以NP+MN+MA>MB+MA，即NP+MN+MA>AB，与AB是直径矛盾，所以这种情况也不成立。
  附上代码：

  #include<cstdio>
  #include<cstring>
  #include<algorithm>
  using namespace std;
  const int N=100005;
  int n,m,t,p,ans;
  int d[N],first[N],v[N],w[N],next[N];
  void add(int x,int y,int z)
  {
    t++;
    next[t]=first[x];
    first[x]=t;
    v[t]=y;
    w[t]=z;
  }
  void dfs(int x,int father)
  {
    int i,j;
    if(ans<d[x])
    {
        ans=d[x];
        p=x;
    }
    for(i=first[x];i;i=next[i])
    {
        j=v[i];
        if(j==father)
          continue;
        d[j]=d[x]+w[i];
        dfs(j,x);
    }
  }
  void find(int x)
  {
    ans=0;
    d[x]=0;
    dfs(x,0);
  }
  int main()
  {
    int x,y,z,i;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    find(1);
    find(p);
    printf("%d",ans);
    return 0;
  }

  2、树形DP
  对于每个节点我们要记录两个值：
  f1 [ i ] 表示以 i 为根的子树中，i 到叶子结点距离的最大值
  f2 [ i ] 表示以 i 为根的子树中，i 到叶子结点距离的次大值
  对于一个节点，它到叶子结点距离的最大值和次大致所经过的路径肯定是不一样的
  若j是i的儿子，那么（下面的 w [ i ][ j ] 表示 i 到 j 的路径长度）：
  若 f1 [ i ] < f1 [ j ] + w [ i ][ j ]，f2 [ i ] = f1 [ i ]，f1 [ i ] = f1 [ j ] + w [ i ][ j ]；
  否则，若 f2 [ i ] < f1 [ j ] + w [ i ][ j ]，f2 [ i ] = f1 [ j ] + w [ i ][ j ]；
  理解：这样做就是，先看能否更新最大值，若能，它的次大值就是原先的最大值，再更新它的最大值；若不能，就看能不能更新次大值，若能，就更新，不能就不管它
  这样的话，最后的答案 answer = max { f1 [ i ] + f2 [ i ] }
  代码（这是从叶节点到根节点的DP）：

  #include<cstdio>
  #include<cstring>
  #include<algorithm>
  using namespace std;
  const int N=100005;
  int n,m,t,ans;
  int f1[N],f2[N];
  int first[N],v[N],w[N],next[N];
  void add(int x,int y,int z)
  {
    t++;
    next[t]=first[x];
    first[x]=t;
    v[t]=y;
    w[t]=z;
  }
  void dp(int x,int father)
  {
    int i,j;
    for(i=first[x];i;i=next[i])
    {
        j=v[i];
        if(j==father)
          continue;
        dp(j,x);
        if(f1[x]<f1[j]+w[i])
        {
            f2[x]=f1[x];
            f1[x]=f1[j]+w[i];
        }
        else if(f2[x]<f1[j]+w[i])
          f2[x]=f1[j]+w[i];
        ans=max(ans,f1[x]+f2[x]);
    }
  }
  int main()
  {
    int x,y,z,i;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);
        add(y,x,z);
    }
    dp(1,0);
    printf("%d",ans);
    return 0;
  }

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