Codechef RIN 「Codechef14DEC」Course Selection 最小割离散变量模型

问题描述

提供中文版本好评，一直以为 Rin 是题目名字...

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题解

参考了 东营市胜利第一中学姜志豪 的《网络流的一些建模方法》（2016年信息学奥林匹克中国国家队候选队员论文）

读了之后很有感触，这里节选一段话：

最小割模型的本质是将点的集合 \(V\) 划分为两个点集 \(S,T\) ，使得 \(S \in S,T \in T\) ，且 \(S∩T=∅\)

之前对最小割中边权为 \(INF\) 的边，一直理解为不允许被割，现在从另一个角度来认识，就是保证这条边所联通的两个点，不允许被划分到两个不同的集合中。

对于这道题，首先要进行一个脑洞的转化：得分最高->扣分最少

最小割一般解决的是最小化问题，这样就方便了。

然后运用离散变量模型：

\(\mathrm{Code}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

//#define local

const int maxn=10100;
const int maxm=500007;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int n,m,k,S,T;
int Head[maxn],to[maxm],Next[maxm],w[maxm],tot=1;

void addedge(int x,int y,int z){
    to[++tot]=y,Next[tot]=Head[x],Head[x]=tot,w[tot]=z;
}

void add(int x,int y,int z){
    addedge(x,y,z);addedge(y,x,0);
}

void Init(void){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
}

int id(int x,int y){
    return (x-1)*m+y;
}

void Graph_build(void){
    S=n*m+1,T=S+1;
    for(int i=1,x;i<=n;i++){
        scanf("%d",&x);
        if(x==-1) x=INF;
        else x=200-x;
        add(S,id(i,1),x);
        for(int j=2;j<=m;j++){
            scanf("%d",&x);
            if(x==-1) x=INF;
            else x=200-x;
            add(id(i,j-1),id(i,j),x);
        }
        add(id(i,m),T,INF);
    }
    while(k--){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(S,id(y,1),INF);
        for(int i=2;i<=m;i++){
            add(id(x,i-1),id(y,i),INF);
        }
    }
}

int d[maxn];
int ans;

bool bfs(){
    memset(d,0,sizeof(d));
    queue<int>q;q.push(S);d[S]=1;
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=Head[x];i;i=Next[i]){
            if(d[to[i]]||!w[i]) continue;
            q.push(to[i]);d[to[i]]=d[x]+1;
            if(to[i]==T) return true;
        }
    }
    return false;
}

int dfs(int x,int flow){
    if(x==T) return flow;
    int rest=flow;
    for(int i=Head[x];i&&rest;i=Next[i]){
        if(d[to[i]]!=d[x]+1||!w[i]) continue;
        int k=dfs(to[i],min(rest,w[i]));
        if(!k) d[to[i]]=0;
        else{
            w[i]-=k,w[i xor 1]+=k;
            rest-=k;
        }
    }
    return flow-rest;
}

void Dinic(void){
    int t;
    while(bfs()){
        while(t=dfs(S,INF)) ans+=t;
    }
}

void Work(void){
    Graph_build();
    Dinic();
    ans=n*200-ans;
    double ouf=(double)ans/(double)n;
    printf("%.2f\n",ouf);
}

int main(){
    #ifdef local
        freopen("hzlbn.in","r",stdin);
    #endif
    Init();
    Work();
    return 0;
}