计算机图形学基础知识

本文介绍一些和计算机图形学相关的数学知识。这里假设读者对大一课上学的基础的线性代数非常熟悉，所以对向量是什么、矩阵是什么、矩阵的乘法以及线性变换等基本内容就不再介绍了。

计算机处理3D图形的过程主要分为三步：建模（Modeling），动画（Animation），绘制（Rendering）。这里首先介绍建模，然后介绍绘制，最后介绍动画。

建模部分负责构造要被绘制的3D对象。

绘制部分负责把3D对象渲染出来。目前绘制技术包括两大类，栅格（Rasterization）和光线追踪（Raytracing）。这两类技术的思路刚好相反。栅格技术的出发点是3D对象，判定一个3D对象应该怎样绘制到屏幕上。光线追踪则考虑屏幕上的每个像素，追踪从这个像素出发的光线，分析这个像素是什么颜色。光线追踪技术绘制的画面更加逼真，但计算量也更大。

坐标和变换

外积

外积这种运算，是三维向量特有的，在空间几何中极为常用。

设有两个向量和，它们的外积仍然是向量，记为。

• 的方向：和与都垂直，因此和与决定的平面（如果和不平行的话）垂直。具体方向由右手定则判定；
• 的大小：，这里为和的夹角（所以如果和平行，）；
• 外积不满***换律或结合律，但满足分配率：；
• 外积可以用行列式计算

这里为三个方向上的单位向量。

• 外积也可以用如下公式计算：。这里是的对偶矩阵.

计算机图形学中，常常用外积来计算和两个给定向量都垂直的向量。

坐标系

一个坐标系（Coordinate Frame）由三个向量表示，这三个向量满足

• 单位向量
• 两两正交
• 

显然，以按顺序为行向量组成的矩阵，就是一个行列式为1的三阶单位正交阵。反过来，任意一个行列式为1的三阶单位正交阵的三个行向量也可以构成一个坐标系。

变换

变换是建模中最重要的概念之一。一个3D对象的大小、位置、方向，全部由变换决定。不同3D对象之间的相对位置和方向，也都由变换来表示。

变换可以用矩阵表示。变换的组合对应矩阵的乘法。

下面介绍基本变换。一般的变换可以通过这些基本变换组合出来。

缩放变换:

三个方向分别乘以对应的缩放倍数。

剪切变换:

剪切变换的效果如下图所示。

2D旋转:

2D旋转满***换律，两个旋转的组合就是它们的旋转度数简单的相加。

3D旋转:

之所以把二维变换和三维变换分开来讲，是因为它们的区别实在太大了。

三维旋转没有一个一般的公式。实际上，所有不改变位置、不镜面反射的刚性变换，就是全部的旋转变换。换句话说，三维旋转的矩阵集合就是所有行列式为1的单位正交矩阵集合。

三维旋转是不满***换律的。放缩和平移变换都能够用三个坐标表示，因为在三个方向上的变换可以随意交换顺序。三维旋转不可以。

当使用3D建模软件或者3D游戏开发工具的时候，一个对象的控制面板上都会有“变换”这一模块，一般是三行三列数字，通常来说，第一行是平移，第二行是旋转，第三行是放缩。平移和放缩都很容易理解，只有旋转的三个数字代表什么效果，不是那么直观。实际上，只有其他数字是零的时候，改变其中一个值的效果才比较容易理解：某个方向上的旋转，就是绕这个方向的坐标轴旋转，迎着坐标轴的方向看去是逆时针旋转。所以三个基本的3D旋转的矩阵如下所示：

任何一个旋转都可以看做绕某个轴的旋转。所以，一个3D旋转可以用一个单位向量和旋转角度表示，其中表示旋转轴的方向。对应的矩阵可以由Rodrigues旋转公式算出:

这个公式的推导如下：设有任意一个向量，首先推导出绕旋转之后得到的向量的公式，然后把这个公式整理成矩阵乘以的形式。这个就是要求的矩阵。

将拆开为沿方向的分量和与垂直的分量。显然，在旋转中保持不变，对应了上式中的。，这个分量旋转度之后，就对应了上式中其他的部分。

同态坐标

到目前为止，我们仍然没有讲相对简单的平移变换。那是因为平移变换在三维空间中是一个尴尬的存在：它不对应于一个线性变换，无法用三维矩阵表示。平移变换只能用向量的加法表示，但这不是漂亮的解决办法。

为了解决这个问题，将三维空间中的平移用四维空间的剪切变换来表示。想象一下二维空间中的剪切变换，如果沿着剪切的方向取一个一维的横截面，那么在这个一维空间中，剪切变换就投影成了平移变换。四维空间和三维空间之间的关系也是如此。

一个三维空间中的点对应着四维空间中的一条线。反过来任意一个四维空间中的点可以投影为三维空间中的一个点，前提是。所有的点可以看作无穷远点。这样的四维坐标叫做同态坐标。

之前介绍的所有变换对应的三维矩阵，都可以如下扩充为四维矩阵：

只有接下来介绍的平移矩阵不是这种格式。

平移:

变换的组合: 变换的组合对应于矩阵的乘法。和矩阵的乘法一样，这种组合是不可交换的。一般来说，先缩放、再旋转、最后平移，是比较直观的做法。

用到先平移再旋转的情况，一般是在选择摄像头的角度时。此时旋转变换会造成整个世界的旋转。

法向量的变换矩阵: 当变换一个曲面时，把同样的变换作用到法向量上，得到的结果可能和变换后的曲面不再垂直。因此，要计算变换之后的法向量，需要另外一个矩阵。

为了得到变换对应的法向量变换矩阵，考虑法向量和所有切向量垂直这一事实，也就是。变换之后，我们希望使得。要让这个式子对所有和成立，必然有，所以 。

注意到这个结果符合一个直觉：当变换为刚性变换时（也就是只有旋转），法向量也遵从同样的变换。对应地，此时为单位正交矩阵，而正交阵恰好和自己的逆转置相等。

上述关于法向量变换矩阵讨论只针对三维空间。平移变换不会改变法向量。

模型矩阵

模型矩阵(Modelview Matrix)要把对象在世界中的位置，换算成这个对象在摄像头坐标系中的位置。OpenGL的gluLookAt()函数的作用就是根据指定的摄像头参数，设置模型矩阵，让摄像头“看着”目标点，

这个函数有三个向量作为参数：eye​，​center，up。其中，eye和center固定了摄像头的位置和要对准的目标位置，up​则表示哪里是“上方”。

在OpenGL中，经过模型矩阵变换后，原先摄像头对准的方向，会变换到方向，摄像头头顶方向会变换到方向，摄像头右手方向则变换到方向。

而gluLookAt()这个函数，是要计算一个模型矩阵，使得它代表这么一个变换：把摄像头坐标系平移到原点，旋转后对准标准坐标系。下图是二维情况下的示意图：

首先计算摄像头坐标系的三个基向量，和的坐标。首先，因为摄像头瞄准的方向要被映射到，需要对摄像头的方向取反，即eye - center，然后归一化得到的单位向量。计算up和的外积并归一化，就得到了方向向量。最后，计算。

如上计算好，和之后，得到如下矩阵：

因为，和为两两正交的单位向量，这个矩阵将，和分别映射到，和，也就是变换之后的坐标系。

这个矩阵代表了一个旋转变换，在旋转之前需要首先把摄像头移动到原点。因此，最终的模型矩阵是旋转矩阵乘以平移矩阵得到的：

投影矩阵

模型是3D的，而最终呈现的画面却是二维的。因此，我们需要将3D的坐标映射到二维坐标系中。这个变换就是投影，对应的矩阵就是投影矩阵(Projection Matrix)。常用的有正交投影和透视投影。接下来的描述中，都假设已经做过模型变换，摄像头的位置放在了原点，目光对准了方向。

正交投影

想象一束和轴平行的光透过模型打到-平面上，在这个平面上留下的画面，就是正交投影(Orthogonal Projection)。

这种投影方式，其实就是把坐标直接去掉，从三维坐标得到二维坐标。投影矩阵就是：

它把直接映射到。

我们希望能指定一些参数，划定一个范围，将这一个范围内的模型映射到范围内。

在OpenGL中，正交投影需要指定六个参数left, right, top, bottom, near, far。

这六个参数确定了六个平面的位置，框起一个长方体，长方体外的部分被忽略。

首先应用一个变换，将这个长方体放映射到一个大小为2，中心在原点的正方体。最后，将得到的坐标取部分，就得到了最终的投影坐标。

透视投影

正交投影虽然简单，却并不能准确模仿人通过眼睛看到的视野。比如，它就无法得到近大远小的效果。更逼真的投影方式是透视投影(Perspective Projection)。为了理解这种投影方式，想象从摄像头的位置向方向发射出一个金字塔形状的方锥。

在一个位置用一个平行于-的平面去截这个金字塔，得到的矩形就是投影矩形。。对于方锥内部的点，将其和原点连一条线，和投影目标平面的交点，就是这一点的投影。

OpenGL中的透视投影有如下参数：

• foy，即方向的视野角度；
• aspect，即投影矩形的长宽比；
• near，即投影目标平面的坐标；
• far，进入视野的最远距离。

OpenGL中，near和far都是正的，far大于near。但OpenGL的摄像头是往方向看的，所以实际上这两个平面的位置分别是-near和​-far​。

我们希望在这个范围内的点刚好投影到这个方块内。首先关注方向。设，，我们希望一个点向原点方向投影，在平面上的坐标变为。

为了实现这个变换，考虑如下矩阵

这样，对于点同态坐标，变换之后就成了，也就是。所以，只要不超过，也就是在方向上处于这个金字塔之内，坐标就会映射到之内。

接下来调节方向。既然方向已经在范围里了，只需要在方向上缩小aspect倍，那么也就刚好落到上。于是矩阵变为

因为矩阵是同态的，全部乘以一个系数不会改变矩阵的作用效果，所以可以全部乘以，得到

最后，我们用待定系数法调整这个矩阵，使得near和far平面分别落在和上。因为和坐标不能影响的映射，所以只能考虑右边两列。因为只考虑坐标的映射结果，所以实际上只能调节第三行右边两个系数。设其分别为和。于是我们需要有，。最后解出来矩阵为

小结

本文介绍了一些和计算机图形学相关的数学知识。首先我们介绍了外积、变换和变换矩阵，以及同态坐标。然后我们介绍了模型矩阵，用于将摄像头变换到原点位置。最后我们介绍了投影矩阵，用于将3D物体映射到二维平面上，包括正交矩阵和投影矩阵。