线性代数之——向量简介

1. 二维向量

在二维平面中，一个二维向量可以用一个箭头来表示，这个箭头起始于原点，终点坐标 $(x,y)$(x,y) 分别为向量中的两个元素，而 $cv$cv 与 $dw$dw 的和则是向量 $v$v 和 $w$w的线性组合。

2. 三维向量

三维向量和二维向量类似，可以表示为三维平面中的一个箭头，只不过坐标变成了 $(x,y,z)$(x,y,z)。

针对三维向量 $u$u， $v$v 和 $w$w，有

• 所有 $cu$cu 的组合会填满一条直线
• 所有 $cu+dv$cu+dv 的组合会填满一个平面，如果 $u$u 和 $v$v 不在一条直线上
• 所有 $cu+dv+ew$cu+dv+ew 的组合会填满三维空间，如果 $w$w 不在 $u$u 和 $v$v 组合成的平面上

3. 长度和点积

两个向量 $v=(v_1,v_2)$v=(v1​,v2​) 和 $w=(w_1,w_2)$w=(w1​,w2​) 的点积或者内积 $v\cdot w$v⋅w 定义为：

$v\cdot w=v_1{w}_1+v_2{w}_2$v⋅w=v1​w1​+v2​w2​

如果两个的向量的点积为零，说明这两个向量是垂直的，它们之间的角度为 90°。

另一个重要的情况是一个向量和自己点积，这时候点积的结果就是向量长度的平方，或者说向量的长度就等于与自身点积的平方根。

$Length=norm\left(v\right)=\mid \mid v\mid \mid =\sqrt{v\cdot v}$Length=norm(v)=∣∣v∣∣=v⋅v ​

单位向量就是向量长度为 1 的向量，也就是 $u\cdot u=1$u⋅u=1。 $u=v/\mid \mid v\mid \mid$u=v/∣∣v∣∣ 是一个和 $v$v 在一个方向上的单位向量。

沿着 $x$x 轴和 $y$y 轴 的单位向量称为 $i$i 和 $j$j，在 $xy$xy 平面中，单位向量 $u$u 和 $x$x 轴构成一个夹角 $\theta$θ 。

$i=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]，j=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]，u=\left[\begin{array}{c}cos\theta \\ sin\theta \end{array}\right]$i=[10​]，j=[01​]，u=[cosθsinθ​]

当两个向量之间的角度小于 90° 时，它们的点积大于 0；当两个向量之间的角度大于 90° 时，它们的点积小于 0；而当两个向量之间的角度等于 90° 时，它们的点积等于 0。

我们可以直观地看到这种情况，当这两个向量分别为单位向量 $u=(cos\theta ,sin\theta )$u=(cosθ,sinθ) 和 $i=(1,0)$i=(1,0) 时，这时候 $u\cdot i=cos\theta$u⋅i=cosθ， $\theta$θ 也就是这两个向量之间的角度。

当这两个向量分别旋转到 $u=(cos\beta ,sin\beta )$u=(cosβ,sinβ) 到 $i=(cos\alpha ,sin\alpha )$i=(cosα,sinα) 时，它们的点积为：

$u\cdot i=cos\beta cos\alpha +sin\beta sin\alpha =cos(\beta -\alpha )=cos\theta$u⋅i=cosβcosα+sinβsinα=cos(β−α)=cosθ

当两个向量不是单位向量的时候，我们就可以先除以向量的长度把它们变成单位向量，因此，同样地，就有：

$\frac{v\cdot w}{\mid \mid v\mid \mid \mid \mid w\mid \mid }=cos\theta$∣∣v∣∣ ∣∣w∣∣v⋅w​=cosθ

因为 $\mid cos\theta \mid$∣cosθ∣不会超过 1，因此我们就得到了 施瓦茨不等式（Schwarz Inequality） 和 三角不等式（Triangle inequality）：

$\mid v\cdot w\mid ⩽\mid \mid v\mid \mid \mid \mid w\mid \mid$∣v⋅w∣⩽∣∣v∣∣ ∣∣w∣∣
$\mid \mid v+w\mid \mid ⩽\mid \mid v\mid \mid +\mid \mid w\mid \mid$∣∣v+w∣∣⩽∣∣v∣∣+∣∣w∣∣

4. 矩阵

给出三个向量

$u=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]，v=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right]，w=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$u=⎣⎡​1−10​⎦⎤​，v=⎣⎡​01−1​⎦⎤​，w=⎣⎡​001​⎦⎤​

它们的线性组合 $cu+dv+ew$cu+dv+ew 为：

$c\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right]+e\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}c\\ d-c\\ e-d\end{array}\right]$c⎣⎡​1−10​⎦⎤​+d⎣⎡​01−1​⎦⎤​+e⎣⎡​001​⎦⎤​=⎣⎡​cd−ce−d​⎦⎤​

我们将 $u，v，w$u，v，w 作为矩阵 $A$A 的列，然后上式可以重写为：

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\\ d\\ e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}c\\ d-c\\ e-d\end{array}\right]$⎣⎡​1−10​01−1​001​⎦⎤​⎣⎡​cde​⎦⎤​=⎣⎡​cd−ce−d​⎦⎤​

将 $c,d,e$c,d,e 换成 $x_1,x_2,x_3$x1​,x2​,x3​，我们可以得到：

$Ax=\left[\begin{array}{ccc}& & \\ u& v& w\\ & & \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=x_{1}u+x_{2}v+x_{3}w=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2-x_1\\ x_3-x_2\end{array}\right]$Ax=⎣⎡​u​v​w​⎦⎤​⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​=x1​u+x2​v+x3​w=⎣⎡​x1​x2​−x1​x3​−x2​​⎦⎤​

这就是说， $Ax$Ax 的结果就是对矩阵 $A$A 的列的线性组合。

我们还可以将上面的乘积表示成另外一种形式，矩阵的行和向量的点积：

$Ax=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(1,0,0)\cdot (x_1,x_2,x_3)\\ (-1,1,0)\cdot (x_1,x_2,x_3)\\ (0,-1,1)\cdot (x_1,x_2,x_3)\end{array}\right]$Ax=⎣⎡​1−10​01−1​001​⎦⎤​⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​=⎣⎡​(1,0,0)⋅(x1​,x2​,x3​)(−1,1,0)⋅(x1​,x2​,x3​)(0,−1,1)⋅(x1​,x2​,x3​)​⎦⎤​

获取更多精彩，请关注「seniusen」!