描述

此题和斐波拉契数列做法一样。也将用三个方法来解决，从入门到会做。
考察知识：递归，记忆化搜索，动态规划和动态规划的空间优化。
难度：一星

题解

方法一：递归

题目分析，假设f[i]表示在第i个台阶上可能的方法数。逆向思维。如果我从第n个台阶进行下台阶，下一步有2中可能，一种走到第n-1个台阶，一种是走到第n-2个台阶。所以f[n] = f[n-1] + f[n-2].
那么初始条件了，f[0] = f[1] = 1。
所以就变成了：f[n] = f[n-1] + f[n-2], 初始值f[0]=1, f[1]=1，目标求f[n]
看到公式很亲切，代码秒秒钟写完。

int Fibonacci(int n) {
    if (n<=1) return 1;
    return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}

优点，代码简单好写，缺点：慢，会超时
时间复杂度：O(2^n)
空间复杂度：递归栈的空间
###方法二：记忆化搜索
拿求f[5] 举例

通过图会发现，方法一中，存在很多重复计算，因为为了改进，就把计算过的保存下来。
那么用什么保存呢？一般会想到map， 但是此处不用牛刀，此处用数组就好了。

int Fib(int n, vector<int>& dp) {
    if (n<=1) return 1;
    if (dp[n] != -1) return dp[n];
    return dp[n] = Fib(n-1) + Fib(n-2);
}
int Fibonacci(int n) {
    vector<int> dp(45, -1); // 因为答案都是>=0 的， 所以初始为-1，表示没计算过
    return Fib(n, dp);
}

时间复杂度：O（n）， 没有重复的计算
空间复杂度：O（n）和递归栈的空间

方法三：动态规划

虽然方法二可以解决此题了，但是如果想让空间继续优化，那就用动态规划，优化掉递归栈空间。
方法二是从上往下递归的然后再从下往上回溯的，最后回溯的时候来合并子树从而求得答案。
那么动态规划不同的是，不用递归的过程，直接从子树求得答案。过程是从下往上。

int Fibonacci(int n) {
    vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for (int i=2; i<=n; ++i) {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
###继续优化
发现计算f[5]的时候只用到了f[4]和f[3], 没有用到f[2]...f[0],所以保存f[2]..f[0]是浪费了空间。
只需要用3个变量即可。

int Fibonacci(int n) {
     if (n == 0 || n == 1) return n;
        int a = 1, b = 1, c;
        for (int i=2; i<=n; ++i) {
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
}

时间复杂度：O（n）
空间复杂度：O（1）
完美！