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有一个箱子，N把钥匙，只有一把钥匙能打开箱子，现在拿钥匙去开

[单选题]

有一个箱子，N把钥匙，只有一把钥匙能打开箱子，现在拿钥匙去开箱子。问恰好第k次打开箱子的概率?

```
1/N-1
```
```
1/N
```
```
1/N+1
```
```
1/2N
```

查看答案及解析

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yanglichun

第i次打开，概率都一样，所以1/N。

或者更严谨点，第一次开1/N，第二次开(N-1)/N * 1/(N-1) =1/N，。。。

选B

编辑于 2015-01-02 21:54:16 回复(1)

老鼠

这道题的解题思路是这样的：

这道题可以理解为在 N 个样品中，仅有 1 个次品，

问第 k 次抽取到该次品的概率是多少？

题目中没有说明是放回抽样还是不放回抽样，

但是不要紧，无论是那种抽样方法计算得出的结构都是 1/n

不放回抽样：

如果是不放回抽样的话，每次都是从 N 个样品中抽取，概率必须是 1/n

如果是放回抽样：

1. 累乘法 P= （前 k-1 次抽取正品概率 * 第k 次抽取次品的概率）

分为前 k-1 次抽取正品，和第k次，这次的抽取次品

前 k-1 次中

第1次：分子：从 n-1 个正品中抽取 1 个正品

分母：从 n-1 个正品中抽取 1 个样品

....

第 i 次：（ i < k ; 在第 i 次抽取的时候，前面抽了 i-1 次正品，正品剩余 n-(i-1) -1 个，

后面 -1 对应的是 1 个次品的个数；产品剩余 n -(i-1) 个）

那么i 次抽取到1个正品概率为

分子： C( 1, n-i)

分母： C(1,n-i+1)

...

第 k-1 次抽取到正品的概率：

分子：C(1, n-k-1)

分母： C(1， n-k)

第 k 次抽取到次品的概率为

分子： C(1,1) ：从一个次品中选出一个次品

分母： C(1, n-(k-1)) :从前 k-1 次抽取剩余的样品中：n-(k-1) 抽取1 个样品

将其进行累乘：

C(1,n-1)/C(1,n) * C(1,n-2)/C(1,n-1)*...* C（1， n-1）/ C(1, n-i+1) *...*

C(1, n-k-1)/C(1,n-k) * C(1,1)/C(1,n-k+1)

前一项的分子会被后一项的分母消去，最后得到：

1/C(1,n)*C(1,n-k-1) *C(1,1)/C(1,n-l+1)

= 1/n

2. 直接翻译语义

第一步：对应的是抽到次品之前的 k -1次抽取正品的概率

分子：从 n -1个正品中抽取出 k-1 个正品

分母：从 n 个样品中抽取出 k-1 个样品

C(k-1, n-1)/C(k-1, n)

第二步：对应的是第k 次从剩余的 n -(k-1) 个样品中抽到1 个次品的概率

分子：从 1 个次品中抽取出 1 个次品

分母：从 n - (k-1)个样品中抽取一个样品

C(1,1)/C(1, n-k+1)

第一步*第二步 = 1/n

发表于 2015-04-09 17:33:05 回复(2)

美团到店招聘

和抽签法是一个意思。都能保证概率是1/n

发表于 2017-03-19 16:22:48 回复(0)

linlh

这样子理解，首先第一次打开的概率是 $\frac{1}{N}$
如果是第二次打开的概率则是第一次打开失败了，第二次打开成功，所以概率计算为 $(1-\frac{1}{N})\frac{1}{N-1}=\frac{N-1}{N}\frac{1}{N-1}=\frac{1}{N}$
依此类推，第三次的话为 $(1-\frac{1}{N})(1-\frac{1}{N-1})\frac{1}{N-2}=\frac{N-1}{N}\frac{N-2}{N-1}\frac{1}{N-2}=\frac{1}{N}$
所以可以得到最终的结果和选择钥匙的次数无关，概率都为 $\frac{1}{N}$ ，这也就是为什么说抽签可以保证公平性的原因，而不是随着抽取的次序越往后概率越大，而是每个人的概率都是一样的

发表于 2020-05-01 15:45:21 回复(0)

Quartzhang

投机取巧法：假如有5把钥匙，问恰好第一次开的概率就是1/5。

发表于 2021-04-11 04:29:37 回复(2)

Annie-Z

此处不能用geometric distribution几何分布的公式，因为每次试过一个钥匙，下一次打开锁的概率都变大了一点点

编辑于 2023-12-16 16:21:45 回复(0)

Cyy_0422

可以假设就两把钥匙，那么概率就是1/2。然后代入选项，看数值的大小。

发表于 2020-08-05 14:54:12 回复(0)

向代码进击的小怪兽

可以理解为，每次实验都是独立的。第i次打开，概率都一样，所以1/N。

发表于 2020-07-12 16:05:18 回复(0)

天道酬勤fml

每次打开的概率都是一样的，都是1/N

发表于 2020-07-08 17:16:45 回复(0)

SuperYuan

无放回的

编辑于 2020-05-05 12:17:11 回复(0)

hyy1208

选项答案跟k无关，假设k=1

发表于 2019-10-24 14:11:30 回复(0)

offer在哪呢？

这道题个人感觉拿这个例子不太适合，或者说换成是m（m>=k）个人取N把钥匙中一把钥匙取开锁可能会合理一些。因为如果是一个人开的话，根据人有记性，如果前面q次（q<k）打不开，则会会把前面q次的钥匙排除掉，即每次开一次都得排除一种可能。那么试的次数越多，后续的开锁几率就越大。当然，这里题目的意思可能只是没有说人有记性这个假设。所以可能我这么想回转牛角尖。只是说题目可以说的严谨一些

发表于 2019-07-08 10:52:59 回复(0)

Eric_Root

第一次：1/N

第二次： (N-1)/N * 1/(N-1)

发表于 2018-08-19 11:06:45 回复(0)

cloudrain

第一次开1/N,第二次开:就是第一次没开N-1/N*1/N-1。以此类推1/N

发表于 2017-03-11 22:01:49 回复(0)

pmby

就是相当于一堆人抽签，谁去买雪糕……笨想法很简单，要是不平均，抽签这法子早就没人用了……

第一个人是1/N,第二个人是N-1/N * 1/N-1 =1/N,类推一下，都是1/N

发表于 2015-08-26 15:23:22 回复(0)

Nearby36

取出不放回类型

发表于 2015-08-23 20:28:39 回复(0)

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网易概率统计

上传者：小小

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有一个箱子，N把钥匙，只有一把钥匙能打开箱子，现在拿钥匙去开

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