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有一个箱子,N把钥匙,只有一把钥匙能打开箱子,现在拿钥匙去开

[单选题]
有一个箱子,N把钥匙,只有一把钥匙能打开箱子,现在拿钥匙去开箱子。问恰好第k次打开箱子的概率?
  • 1/N-1
  • 1/N
  • 1/N+1
  • 1/2N
推荐
第i次打开,概率都一样,所以1/N。
或者更严谨点,第一次开1/N,第二次开(N-1)/N * 1/(N-1) =1/N,。。。
选B
编辑于 2015-01-02 21:54:16 回复(1)
这道题的解题思路是这样的:
这道题可以理解为在 N 个样品中,仅有 1 个次品,
问第 k 次抽取到该次品的概率是多少?

题目中没有说明是放回抽样还是不放回抽样,
但是不要紧,无论是那种抽样方法计算得出的结构都是 1/n
不放回抽样:
如果是不放回抽样的话,每次都是从 N 个样品中抽取,概率必须是  1/n

如果是放回抽样:
1. 累乘法 P= (前 k-1 次抽取正品概率 * 第k 次抽取次品的概率)
分为前 k-1 次抽取正品,和第k次,这次的抽取次品
前 k-1 次中
第1次 : 分子:从 n-1 个正品中抽取 1 个正品
         分母: 从 n-1 个正品中抽取 1 个样品
....
第 i 次:( i < k ; 在第 i 次抽取的时候,前面抽了 i-1 次正品 ,正品剩余 n-(i-1) -1 个,
            后面 -1 对应的是 1 个次品的个数; 产品剩余 n -(i-1) 个   )
那么i 次抽取到1个正品概率为 
分子: C( 1, n-i)
分母: C(1,n-i+1)

...
第 k-1 次抽取到正品的概率:
分子:C(1, n-k-1)
分母: C(1, n-k)

第 k 次抽取到次品的概率为
分子: C(1,1) :从一个次品中选出一个次品
分母: C(1, n-(k-1)) :从前 k-1 次抽取剩余的样品中:n-(k-1) 抽取1 个样品

将其进行累乘:

C(1,n-1)/C(1,n) * C(1,n-2)/C(1,n-1)*...* C(1, n-1)/ C(1, n-i+1) *...*
C(1, n-k-1)/C(1,n-k) * C(1,1)/C(1,n-k+1)

前一项的分子会被后一项的分母消去,最后得到:
1/C(1,n)*C(1,n-k-1) *C(1,1)/C(1,n-l+1)
= 1/n

2. 直接翻译语义
第一步:对应的是抽到次品之前的 k -1次抽取正品的概率
分子:从 n -1个正品中抽取出 k-1 个正品
分母:从 n 个样品中抽取出 k-1 个样品
C(k-1, n-1)/C(k-1, n)

第二步: 对应的是第k 次从剩余的 n -(k-1) 个样品中抽到1 个次品的概率
分子: 从 1 个次品中抽取出 1 个次品
分母: 从 n - (k-1)个样品中抽取一个样品
C(1,1)/C(1, n-k+1)

第一步*第二步 = 1/n

发表于 2015-04-09 17:33:05 回复(2)
和抽签法是一个意思。都能保证概率是1/n
发表于 2017-03-19 16:22:48 回复(0)

这样子理解,首先第一次打开的概率是
如果是第二次打开的概率则是第一次打开失败了,第二次打开成功,所以概率计算为
依此类推,第三次的话为
所以可以得到最终的结果和选择钥匙的次数无关,概率都为,这也就是为什么说抽签可以保证公平性的原因,而不是随着抽取的次序越往后概率越大,而是每个人的概率都是一样的

发表于 2020-05-01 15:45:21 回复(0)
投机取巧法:假如有5把钥匙,问恰好第一次开的概率就是1/5。
发表于 2021-04-11 04:29:37 回复(2)
此处不能用geometric distribution几何分布的公式,因为每次试过一个钥匙,下一次打开锁的概率都变大了一点点
编辑于 2023-12-16 16:21:45 回复(0)
可以假设就两把钥匙,那么概率就是1/2。然后代入选项,看数值的大小。
发表于 2020-08-05 14:54:12 回复(0)
可以理解为,每次实验都是独立的。第i次打开,概率都一样,所以1/N。
发表于 2020-07-12 16:05:18 回复(0)
每次打开的概率都是一样的,都是1/N

发表于 2020-07-08 17:16:45 回复(0)
无放回的
编辑于 2020-05-05 12:17:11 回复(0)
选项答案跟k无关,假设k=1
发表于 2019-10-24 14:11:30 回复(0)
这道题个人感觉拿这个例子不太适合,或者说换成是m(m>=k)个人取N把钥匙中一把钥匙取开锁可能会合理一些。因为如果是一个人开的话,根据人有记性,如果前面q次(q<k)打不开,则会会把前面q次的钥匙排除掉,即每次开一次都得排除一种可能。那么试的次数越多,后续的开锁几率就越大。当然,这里题目的意思可能只是没有说人有记性这个假设。所以可能我这么想回转牛角尖。只是说题目可以说的严谨一些
发表于 2019-07-08 10:52:59 回复(0)
第一次:1/N
第二次: (N-1)/N * 1/(N-1)
发表于 2018-08-19 11:06:45 回复(0)
第一次开1/N,第二次开:就是第一次没开N-1/N*1/N-1。以此类推1/N
发表于 2017-03-11 22:01:49 回复(0)
就是相当于一堆人抽签,谁去买雪糕……笨想法很简单,要是不平均,抽签这法子早就没人用了……
第一个人是1/N,第二个人是N-1/N * 1/N-1 =1/N,类推一下,都是1/N
发表于 2015-08-26 15:23:22 回复(0)
取出不放回类型

发表于 2015-08-23 20:28:39 回复(0)