1,2,3,4 …..n，n个数进栈，有多少种出栈顺序，写出

[问答题]

1,2,3,4 …..n，n个数进栈，有多少种出栈顺序，写出递推公式

Java_Lct

利用动态规划来解决这个问题

把n个元素的出栈个数的记为f(n)

我们很容易得出：f(1) =1

f(2)= 2

f(3)= 5

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：

元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)

分析：1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；

2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)，根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) * f(2)；

3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，

根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；

4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即 f(3)；

结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)

然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

发表于 2017-02-17 19:02:03 回复(0)

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栈

上传者：牛100

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