问题：Loss Function有哪些，怎么用？

一、对数损失函数（逻辑回归）

有些人可能觉得逻辑回归的损失函数就是平方损失，其实并不是。平方损失函数可以通过线性回 归在假设样本是高斯分布的条件下推导得到，而逻辑回归得到的并不是平方损失。在逻辑回归的 推导中，它假设样本服从伯努利利分布（0-1分布），然后求得满足该分布的似然函数，接着取对数求极值等等。而逻辑回归并没有求似然函数的极值，而是把极大化当做是⼀一种思想，进而推导出它的经验风险函数为：最小化负的似然函数（即）。从损失函数的视角来看，它就成了了log损失函数了。

Log损失函数的标准形式：

刚刚说到，取对数是为了方便便计算极大似然估计，因为在MLE中，直接求导比较困难，所以通常
都是先取对数再求导找极值点。损失函数L(Y.P(Y|X))表达的是样本在分类Y的情况下，使概率P(Y|X)达到最大值（换言之，就是利利用已知的样本分布，找到最有可能（即最大概率）导致这种分布的参数值；或者什么样的参数才能使我们观测到目前这组数据的概率最大）。因为log函数是单调递增的，所以logP(Y|X)也会达到最大值，因此在前面加上负号之后，最大化P(Y|X)就等价于最小化L了。

logistic回归的P(y|x)表达式如下（为了将类别标签y统一为1和0，下面将表达式分开表示）：

将上面的公式合并在⼀一起，可得到第i个样本正确预测的概率：

上式是对⼀个样本进行建模的数据表达。对于所有的样本，假设每条样本生成过程独立，在整个样本空间中（N个样本）的概率分布为：

将上式代入到对数损失函数中，得到最终的损失函数为：

之所以有人认为逻辑回归是平⽅方损失，是因为在使用梯度下降来求最优解的时候，它的迭代式子与平方损失求导后的式子非常相似，从而给人一种直观上的错觉。

二、平方损失函数（最小二乘法Ordinary Least Squares）

最小⼆乘法是线性回归的一种，OLS将问题转化成了一个凸优化问题。在线性回归中，它假设样本和噪声都服从高斯分布（为什么假设成高斯分布呢？其实这里隐藏了一个小知识点，就是中心
极限定理理，可以参考【central limit theorem】），最后通过极大似然估计（MLE）可以推导出最小二乘式子。最小二乘的基本原是：最优拟合直线应该是使各点到回归直线的距离和最小的直线，即平方和最小。换言之，OLS是基于距离的，而这个距离就是我们用的最多的欧几⾥里得距离。为什么它会选择使用欧式距离作为误差度量呢（即Mean squared error， MSE），主要有以下几个原因：

• 简单，计算⽅方便便；
• 欧氏距离是⼀种很好的相似性度量标准；
• 在不同的表示域变换后特征性质不不变。
  平方损失（Square loss）的标准形式如下：Y − f(X)表示的是残差，整个式子表示的是残差的平方和，而我们的目的就是最小化这个目标函数值（注：该式子未加入正则项），也就是最小化残差的平方和（residual sum of squares，
  RSS）。

而在实际应用中，通常会使用均方差（MSE）作为一项衡量指标，公式如下：

三、指数损失函数（Adaboost）

学过Adaboost算法的人都知道，它是前向分步加法算法的特例例，是一个加和模型，损失函数就 是指数函数。在Adaboost中，经过m此迭代后，可以得到:

Adaboost每次迭代时的目的是为了找到最小化下列式子时的参数a和G：

而指数损失函数(exp-loss）的标准形式如下:

可以看出，Adaboost的目标式子就是指数损失，在给定N个样本的情况下，Adaboost的损失函数为：

四、Hinge损失函数（SVM）

参考第一条回答