《算法动态规划进阶：0-1 背包问题的 3 种解法》

# 🔥算法动态规划进阶：0-1背包问题的3种解法 

0-1背包问题是动态规划中的经典问题，掌握其解法能显著提升算法能力！今天分享3种高效解法，助你轻松攻克难题 💪 

## 1️⃣ 基础动态规划解法（二维数组） 
最直观的解法是使用二维数组 `dp[i][j]`，表示前i件物品在容量j时的最大价值。状态转移方程为： 
```
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]) 
``` 
这种方法思路清晰，但空间复杂度为O(nW)，适合理解问题本质 🧠 

## 2️⃣ 空间优化解法（一维数组） 
通过观察可以发现，二维数组可以压缩为一维数组！只需逆序遍历容量： 
```
for j in range(W, w[i]-1, -1): 
  dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i]) 
``` 
空间复杂度降至O(W)，效率大幅提升 🚀 

## 3️⃣ 记忆化搜索解法（递归+缓存） 
采用自顶向下的递归思路，配合缓存避免重复计算： 
```python
@lru_cache(maxsize=None)
def knapsack(i, j):
  if i < 0 or j <= 0: return 0
  if w[i] > j: return knapsack(i-1, j)
  return max(knapsack(i-1, j), knapsack(i-1, j-w[i]) + v[i])
``` 
这种方法代码简洁，适合理解递归思维 🌟 

## ✨ 总结 
三种解法各有优势： 
- 二维DP适合学习基础 
- 一维DP效率最高 
- 记忆化搜索最直观 

掌握这三种方法，0-1背包问题将不再是难题！快来动手实践吧 👨‍💻
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