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题目一：螺旋迷宫蛇行挑战

1️⃣：分析螺旋路径可能的碰撞情况

2️⃣：根据路径片段长度关系，判断是否会相撞

难度：中等

这道题目的关键在于理解只能向右转的螺旋路径特性，并分析可能出现的碰撞情况。通过数学关系分析，我们可以得到判断碰撞的条件，从而实现O(n)的高效解法，避免了复杂的路径模拟。

题目二：魔法水晶共振组合

1️⃣：分析三个数两两相乘为完全平方数的数学性质

2️⃣：将每个数拆分为无平方因子部分和平方因子部分

3️⃣：统计无平方因子部分相同的数量，计算组合数

难度：中等偏难

这道题目结合了数论知识和组合计数。通过理解完全平方数的性质，发现满足条件的三元组必须具有相同的无平方因子部分。利用埃氏筛和质因数分解，可以高效地找出所有满足条件的三元组数量。

题目三：矩阵魔法变换

1️⃣：分析L形区域操作的特点和影响

2️⃣：对于足够大的矩阵，每次操作改变3个单元格的值

3️⃣：检查总和是否能被3整除或特殊情况判断

难度：中等

这道题目需要洞察矩阵操作的数学本质。关键发现是：当矩阵足够大时，每次操作影响3个单元格，因此总和必须能被3整除才可能全部变为0。对于特殊情况（如行列数小于2），需要单独判断。这种解法将复杂问题简化为简单的数学关系判断。

01. 螺旋迷宫蛇行挑战

问题描述

小基 最近开发了一款创新的迷宫游戏，在这个游戏中，玩家控制的是一条只能向右转弯的蛇形机器人。这意味着机器人的移动轨迹呈现单螺旋结构，如下图所示：

小基 将机器人的移动路径记录为一系列直线段长度，即每次直行 的长度后，右转 90 度继续前进。现在，小基 想要确定机器人是否会在移动过程中撞到自己之前的路径。

输入格式

第一行输入测试用例的个数 。

对于每一组测试用例，第一行输入机器人路径的段数 。

随后一行给出 个正整数 ，表示每一段直线的长度。

输出格式

对于每一组测试用例，单独输出一行字符串。

若机器人会撞到自身路径，输出""，否则输出""。

样例输入

1
6
5 7 11 12 16 17

1
6
2 3 4 4 7 7

样例输出

NO

NO

数据范围

题解

这道题目考察的是判断一条按照特定规则移动的"蛇"是否会与自身相撞。

首先，我们需要理解题目中的单螺旋结构：机器人只能向右转弯（顺时针旋转90度），形成一个从内到外的螺旋。给定的数组表示机器人每一段直线移动的长度，之后就会右转。

判断是否相撞，本质上是检查新的移动路径是否会与之前的路径相交。对于这种螺旋形状，有几种典型的碰撞情况：

1. 当前段与前前段相撞：第i段长度大于等于第(i-2)段，同时第(i-1)段长度小于等于第(i-3)段
2. 当前段与更早的段相撞：需要考虑特殊的几何关系

通过分析可能的碰撞场景，我们可以得出几个判断条件：

• 如果第i段长度 >= 第(i-2)段长度，且第(i-1)段长度 <= 第(i-3)段长度，则会相撞
• 如果第(i-1)段长度等于第(i-3)段长度，且第i段长度 + 第(i-4)段长度 >= 第(i-2)段长度，则会相撞
• 还有更复杂的情况：当第(i-2)段长度 >= 第(i-4)段长度，且第i段长度 >= 第(i-2)段长度 - 第(i-4)段长度，同时第(i-1)段长度在一定范围内时，也会相撞

时间复杂度为O(N)，对于给定的数据范围（N最大为10^5）完全可以接受。这种方法避免了模拟整个路径的复杂性，而是通过纯数学关系判断是否会相撞。

参考代码

• Python

import sys
input = lambda:sys.stdin.readline().strip()

def can_hit(lens):
    # 判断是否会碰撞的函数
    for i in range(3, len(lens)):
        # 情况1: 当前段与前前段碰撞
        if lens[i] >= lens[i-2] and lens[i-1] <= lens[i-3]:
            return True
        # 情况2: 特殊情况处理
        if i >= 4 and lens[i-1] == lens[i-3] and lens[i] + lens[i-4] >= lens[i-2]:
            return True
        # 情况3: 更复杂的几何关系
        if (i >= 5 and lens[i-2] >= lens[i-4] and 
            lens[i] >= lens[i-2] - lens[i-4] and
            lens[i-1] >= lens[i-3] - lens[i-5] and 
            lens[i-1] <= lens[i-3]):
            return True
    return False

def main():
    # 读取测试用例数
    t = int(input())
    for _ in range(t):
        # 读取路径段数
        n = int(input())
        # 读取每段长度
        lens = list(map(int, input().split()))
        # 判断并输出结果
        print("Yes" if can_hit(lens) else "NO")

if __name__ == "__main__":
    main()

• Cpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

// 判断蛇是否会撞到自身
bool check_collision(const vector<ll>& lens) {
    for (int i = 3; i < lens.size(); i++) {
        // 第一种碰撞情况
        if (lens[i] >= lens[i-2] && lens[i-1] <= lens[i-3]) {
            return true;
        }
        // 第二种碰撞情况
        if (i >= 4 && lens[i-1] == lens[i-3] && 
            lens[i] + lens[i-4] >= lens[i-2]) {
            return true;
        }
        // 第三种复杂碰撞情况
        if (i >= 5 && lens[i-2] >= lens[i-4] && 
            lens[i] >= lens[i-2] - lens[i-4] &&
            lens[i-1] >= lens[i-3] - lens[i-5] && 
            lens[i-1] <= lens[i-3]) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int t;
    cin >> t;
    
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        
        vector<ll> lens(n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cin >> lens[i];
        }
        
        bool hit = check_collision(lens);
        cout << (hit ? "Yes" : "NO") << "\n";
    }
    
    return 0;
}

• Java

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        int t = Integer.parseInt(br.readLine().trim());
        
        for (int tc = 0; tc < t; tc++) {
            int n = Integer.parseInt(br.readLine().trim());
            String[] tokens = br.readLine().trim().split(" ");
            
            long[] lens = new long[n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                lens[i] = Long.parseLong(tokens[i]);
            }
            
            boolean hit = checkHit(lens);
            System.out.println(hit ? "Yes" : "NO");
        }
    }
    
    // 检查蛇是否会撞到自身
    private static boolean checkHit(long[] lens) {
        for (int i = 3; i < lens.length; i++) {
            // 碰撞条件1
            if (lens[i] >= lens[i-2] && lens[i-1] <= lens[i-3]) {
                return true;
            }
            // 碰撞条件2
            if (i >= 4 && lens[i-1] == lens[i-3] && 
                lens[i] + lens[i-4] >= lens[i-2]) {
                return true;
            }
            // 碰撞条件3
            if (i >= 5 && lens[i-2] >= lens[i-4] && 
                lens[i] >= lens[i-2] - lens[i-4] &&
                lens[i-1] >= lens[i-3] - lens[i-5] && 
                lens[i-1] <= lens[i-3]) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

02. 魔法水晶共振组合

问题描述

在小柯的魔法研究实验室中，有一种特殊的水晶具有奇妙的共振特性。当三块水晶的能量值分别为 、 和 时，如果它们两两结合产生的共振能量（即 、 和 ）都是完美平方能量（即某个整数的平方），那么这三块水晶被称为"共振三元组"。

小柯的实验室里有编号从 到 的水晶，每块水晶的能量值等于其编号。她想知道在这些水晶中，有多少种不同的共振三元组组合，即满足 且 、 和 都是完全平方数的三元组 的数量。

输入格式

输入一个正整数 ，表示水晶的最大编号。

输出格式

输出一个整数，表示满足条件的共振三元组数量。

样例输入

9

16

样例输出

1

4

数据范围

样例1	当 时，满足条件的三元组只有 ，因为 ，， 都是完全平方数
样例2	当 时，满足条件的三元组有 、、 和

题解

这道题目要求我们找出满足特定条件的三元组数量。条件是：三个数 、、 两两相乘的结果都是完全平方数。

乍一看，似乎需要枚举所有可能的三元组，但这样会导致 的时间复杂度，对于 最大为 的情况来说太慢了。

仔细分析这个条件，如果 、 和 都是完全平方数，那么这三个数有什么共同特性呢？

关键洞察：如果将每个数分解为质因数的乘积，那么当两个数相乘结果为完全平方数时，意味着它们共同的质因数必须出现偶数次。

换个角度思考，我们可以将每个数表示为 ，其中 是无平方因子的部分（squarefree）， 是平方因子。对于任意两个数 和 ，它们的乘积是完全平方数的条件是 。

基于这个观察，我们可以计算每个 值出现的次数，然后对于每个 值，我们从对应的数中选取3个数的组合数量，即 。

算法步骤：

1. 先预处理出每个数的最小质因子（使用埃氏筛法）
2. 对于每个数 从 到 ，计算其无平方因子部分
3. 统计每个 值出现的次数
4. 对于每个 值，计算 并累加到答案中

时间复杂度为 ，主要在于质因数分解的过程。空间复杂度为 ，用于存储最小质因子和计数。

参考代码

• Python

import sys
input = lambda:sys.stdin.readline().strip()