生成哈夫曼树 - 华为OD统一考试(C卷)

OD统一考试（C卷）

分值： 100分

题解： Java / Python / C++

题目描述

给定长度为 n 的无序的数字数组，每个数字代表二叉树的叶子节点的权值，数字数组的值均大于等于 1 。

请完成一个函数，根据输入的数字数组，生成哈夫曼树，并将哈夫曼树按照中序遍历输出。

为了保证输出的二叉树中序遍历结果统一，增加以下限制:

• 在树节点中，左节点权值小于等于右节点权值，根节点权值为左右节点权值之和。
• 当左右节点权值相同时，左子树高度高度小于等于右子树。

注意: 所有用例保证有效，并能生成哈夫曼树提醒:哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的一叉树。

所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度(若根结点为 0 层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数)

输入描述

例如：由叶子节点 5 15 40 30 10 生成的最优二叉树如下图所示，该树的最短带权路径长度为 40∗1+30∗2+15∗3+5∗4+10∗4=205。

输出描述

输出一个哈夫曼的中序遍历数组，数值间以空格分隔

示例1

输入：
5
5 15 40 30 10

输出：
40 100 30 60 15 30 5 15 10

说明：
根据输入，生成哈夫曼树，按照中序遍历返回。所有节点中，左节点权值小于等于右节点权值之和。当左右节点权值相同时左子树高度小于右子树。结果如上图

题解

这是一个构建哈夫曼树并进行中序遍历的问题。下面是对解题思路和代码的一些解释：

1. 定义了一个 Node 类（C++中是结构体），表示哈夫曼树的节点。其中，weight 表示权值，height 表示树的高度，left 和 right 分别表示左子树和右子树。
2. 重载了 Node 的比较运算符，以便在优先队列（小顶堆）中按照规定的比较规则进行排序。比较规则是先按照权值升序排列，如果权值相同，则按照树高度升序排列。
3. 使用优先队列（小顶堆）来存储节点，确保每次取出的节点都是权值最小的节点。
4. 通过输入构建节点，将节点加入优先队列。
5. 使用优先队列构建哈夫曼树，每次取出两个最小的节点，合并为一个新节点，再放回队列，直到队列中只剩一个节点为止。
6. 最终得到哈夫曼树的根节点，通过中序遍历输出结果。

对于时间复杂度和空间复杂度：

• 时间复杂度：构建哈夫曼树的过程中，每次取出两个最小节点，因此时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 为节点的个数。

• 空间复杂度：使用了优先队列来存储节点，空间复杂度为 O(n)。

哈夫曼树（Huffman Tree）是一种用于编码的二叉树，其中每个叶子节点表示一个字符，而每个内部节点包含一个权值，表示字符出现的频次。哈夫曼树的构建目标是最小化编码长度，使得出现频次较高的字符拥有较短的编码。

构建哈夫曼树的步骤如下：

1. 给定一组字符及其频次，将每个字符视为一个权值为其频次的单节点树。
2. 从这些单节点树中选择两个具有最小权值的树，合并成一个新的树，新树的权值为两个原树的权值之和。这一步骤称为构建哈夫曼树的一次合并操作。
3. 重复步骤2，直到只剩下一个树，即哈夫曼树。

在构建的过程中，为了确保编码长度最短，频次越高的字符在树中的深度越浅。

哈夫曼树主要用于数据压缩，其中对字符进行编码时，频次高的字符用较短的二进制编码表示，频次低的字符用较长的编码表示，从而实现对数据的高效压缩。

Java

import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Scanner;

class Node implements Comparable<Node> {
    long weight;       // 权值
    int height;        // 树高度
    Node left, right;  // 左右子树

    public Node() {
        this.height = 1;
        this.left = null;
        this.right = null;
    }

    // 重载小于运算符，用于定义小顶堆中的比较规则
    @Override
    public int compareTo(Node other) {
        if (this.weight != other.weight) {
            return Long.compare(this.weight, other.weight);  // 小顶堆，按照权值升序排列
        } else {
            return Integer.compare(this.height, other.height);  // 权值相同，则树高度升序排序
        }
    }
}
/**
 * @author code5bug
 */
public class Main {

    // 中序遍历
    static void inorder(Node node) {
        if (node == null) return;
        inorder(node.left);
        System.out.print(node.weight + " ");
        inorder(node.right);
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();