文章内容

• 二次型及其标准型
• 配方法
• 正/负定二次型

二次型及其标准型

什么是二次型和其标准型

定义：数域K上的一个n元二次型是系数在K中的n个变量的二次齐次多项式

一般形式：f(x1,x2,⋯ ,xn)=(a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+⋯+2a1nx1xn)+(a22x12+2a23x2x3+⋯+2a2nx2xn)+⋯+annxn2f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{1n}x_1x_n)+(a_{22}x_1^2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n)+\cdots+a_{nn}x_n^2f(x1​,x2​,⋯,xn​)=(a11​x12​+2a12​x1​x2​+2a13​x1​x3​+⋯+2a1n​x1​xn​)+(a22​x12​+2a23​x2​x3​+⋯+2a2n​x2​xn​)+⋯+ann​xn2​

观察易得，这个式子里面未知数仅由 xi2x_i^2xi2​ 和 xixjx_ix_jxi​xj​ 组成

对于一个二次型 ax2+bxy+cy2=1ax^2+bxy+cy^2=1ax2+bxy+cy2=1，这个式子的几何意义是一个歪了的椭圆或者双曲线或者其它图形，例如一个椭圆，我们的目的是将这个椭圆的中心点回到坐标原点，让轴水平和竖直，也就是进行一个变换操作，将椭圆标准化，准确地说就是将原来的方程变换为标准方程，对应的标准方程就是这个二次型的标准型。

• 椭圆标准方程：x2a2+y2b2=1(a>b>0)\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>b>0)a2x2​+b2y2​=1(a>b>0)
• 双曲线标准方程：x2a2−y2b2=1(a>b>0)\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>b>0)a2x2​−b2y2​=1(a>b>0)

对于上边二次型的一般形式，可以用矩阵的形式来表达：

f(x1,x2,⋯ ,xn)=[x1x2⋯xn][a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann][x1x2⋯xn]f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n \end{bmatrix}f(x1​,x2​,⋯,xn​)=[x1​​x2​​⋯​xn​​]⎣⎡​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎦⎤​⎣⎡​x1​x2​⋯xn​​⎦⎤​

令 x=[x1x2⋯xn]T，A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann]x= \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}^T，A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix}x=[x1​​x2​​⋯​xn​​]T，A=⎣⎡​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎦⎤​，则 f=xTAxf=x^TAxf=xTAx，其中 $A$ 是对称矩阵，这里被称为二次型的矩阵

• 任意一个二次型和它的实对称矩阵是一一对应的
• 实对称矩阵 $A$ 的秩就是二次型 $f$ 的秩

当把一个二次型写成矩阵表达式时，矩阵 $A$ 一定是一个对称矩阵；但当把一个矩阵表达式写成二次型时，即使矩阵 $A$ 不是对称矩阵，展开后仍然是一个二次型。

原因：自己展开尝试一下就理解了，二次型中每个含两个未知数的积的系数都是$a$的2倍，因此相应对称矩阵 $A$ 中的对应值就是 $a$，当将矩阵表达式转换为二次型时，是在对应位置的参数相加，而当二次型转换为矩阵表达式时，则是对当前系数除以二作为相应矩阵的对应值。

例：写出二次型 f(x,y,z)=x2−3z2−4xy+yzf(x,y,z)=x^2-3z^2-4xy+yzf(x,y,z)=x2−3z2−4xy+yz 的实对称矩阵以及矩阵表达式

矩阵表达式：f(x,y,z)=[xyz][1−20−201201232][xyz]f(x,y,z)=\begin{bmatrix}x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}f(x,y,z)=[x​y​z​]⎣⎡​1−20​−2021​​021​23​​⎦⎤​⎣⎡​xyz​⎦⎤​

对于这里的实对称矩阵 $A$ 中对应系数的位置，可以想象成这样一个表格：

xyz

x	x2x^2x2的系数	$xy$的系数	$xz$的系数
y	$xy$的系数	y2y^2y2的系数	$yz$的系数
z	$xz$的系数	$yz$的系数	z2z^2z2的系数

根据二次型中 x2,y2,z2x^2,y^2,z^2x2,y2,z2 的系数和 $xy,xz,yz$ 的系数来写矩阵即可

合同变换

例如一个二次型的矩阵表达式： f=[x1x2x3][c11c12c13c21c22c23c31c32c33][x1x2x3]f=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}f=[x1​​x2​​x3​​]⎣⎡​c11​c21​c31​​c12​c22​c32​​c13​c23​c33​​⎦⎤​⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​

我们对其中的三个元素 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3x1​,x2​,x3​ 做线性变换，即： [x1x2x3]=[c11c12c13c21c22c23c31c32c33][y1y2y3]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​=⎣⎡​c11​c21​c31​​c12​c22​c32​​c13​c23​c33​​⎦⎤​⎣⎡​y1​y2​y3​​⎦⎤​

则有：f(x)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yT(CTAC)y=yTByf(x)=x^TAx=(Cy)^TA(Cy)=y^TC^TACy=y^T(C^TAC)y=y^TByf(x)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yT(CTAC)y=yTBy，这里 B=CTACB=C^TACB=CTAC

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 $C$，使得 B=CTACB=C^TACB=CTAC，则称 $A$ 与 $B$ 合同，记作 . ，这种对 $A$ 的运算被称为合同变换。

注意这里不要与相似变换混淆的概念，相似变换是 B=P−1APB=P^{-1}APB=P−1AP，相似变换是在不同基的同一矩阵进行变换，而合同变换则表示二次型到标准型的变换

将二次型转换为标准型

要想将其化为标准型，我们需要将所有的xixjx_ix_jxi​xj​的系数变为0，不难想到，当矩阵 $A$ 除正对角线以外的元素都为0时，所有 xixjx_ix_jxi​xj​ 的系数也就为0了。

对于合同变换，可以看到，矩阵 $B$ 与矩阵 $C$ 和矩阵 $A$ 相关，而向量 $y$ 与向量 $x$ 和矩阵 $C$ 相关，我们不关心向量y是什么样的，在新的式子中，我们要通过矩阵 $C$ 将矩阵 $A$ 的除正对角线以外的所有元素都变换为0，得到这样一个矩阵 $B$，最后也就得到了二次型对应的标准型。

定理：对于任一个 n 元二次型 f(x)=xTAxf(x)=x^TAxf(x)=xTAx，存在正交变换 $x=Qy$ ($Q$ 为 n 阶正交矩阵)，使得 xTAx=yT(QTAQ)y=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2x^TAx=y^T(Q^TAQ)y=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2xTAx=yT(QTAQ)y=λ1​y12​+λ2​y22​+⋯+λn​yn2​。其中 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1​,λ2​,⋯,λn​ 是实对称矩阵 $A$ 的 n 个特征值，$Q$ 的 n 个列向量 α1,α2,⋯ ,αn\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_nα1​,α2​,⋯,αn​ 是 $A$ 对应于特征值 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_nλ1​,λ2​,⋯,λn​ 的标准正交特征向量.

• 任一实对称矩阵都与一个对角阵合同
• 用正交变换化二次型为标准型，具有保持几何形状不变的优点

这里的 $x$ 是二次型中的未知数，$y$ 是该二次型对应的标准型中的未知数

在对称矩阵的相似对角化中讲过，任何一个对称矩阵，都可以通过一个正交变换变为一个对角阵，这是实对称矩阵的特点。即：$n$ 阶实对称矩阵 $A$ 必可相似对角化，且总存在正交矩阵 $Q$，使得 QTAQ=diag(λ1,λ2,⋯ ,λn)Q^TAQ=diag(λ1,λ2,⋯ ,λn)QTAQ=diag(λ1,λ2,⋯ ,λn)，其中 λ1,λ2,⋯ ,λnλ1,λ2,⋯ ,λnλ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_nλ1,λ2,⋯ ,λnλ1​,λ2​,⋯,λn​ 是矩阵 $A$ 的特征值.

即：Q−1AQ=QTAQ=Λ=[λ1λ2⋯λn]Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda=\begin{bmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \cdots & \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}Q−1AQ=QTAQ=Λ=⎣⎡​λ1​​λ2​​⋯​λn​​⎦⎤​

当我们通过 B=QTAQ=ΛB=Q^TAQ=\LambdaB=QTAQ=Λ，即矩阵 $B$ 变为一个对角阵，对角阵中除正对角线以外其它位置的值都为0，最后 yTByy^TByyTBy当然只剩下平方项了。

正交矩阵中每一个向量都满足和其本身内积为1，和其它向量内积为0，且正交矩阵的转置和其逆矩阵相同。

从中也可以看出，这里这个合同变换的方法本质上就是相似变换，不过这里的相似变换是由正交变换构成的。

参考相似对角化的概念，这里就是矩阵 $A$ 和一个对角阵 $\Lambda$ 相似，性质当然也相同：

• 对角阵 $\Lambda$ 的值是矩阵 $A$ 的特征值
• 矩阵 $Q$ 中的列向量为矩阵 $A$ 的特征向量

同时，在这里因为矩阵 $Q$ 是正交矩阵，因此矩阵 $A$ 中的特征向量相互正交，即其中的每一个向量都满足和其本身内积为1，和其它向量内积为0。

此外，由于对角阵中的元素为矩阵 $A$ 对应的特征值，因此对于一个二次型对应的标准型，该标准型中未知数的系数就是矩阵 $A$ 对应的特征值。

二次型变换为标准型的本质

先联想一下相似变换的本质，相似变换就是从一个基到另一个基，但原本图形形状不做改变的过程，仅仅是同一图形在不同基下的表达形式而已。因此，对于二次型标准化的本质也就清楚了，所谓二次型标准化，本质上就是基的改变，通过定义一个新的基，使得原图形在新的基下是标准形式，然后再通过相似变换将原图形映射过去即可。

我们之前讲过线性空间中的基是什么，参考上图，这里再通俗点讲，就是构建了一个新的坐标系，使得图形在新的坐标系下的方程是标准方程。

规范型：在标准型中，若平方项的系数为1或-1或0，则称其为二次型的规范型。

例：某二次型的标准型为 8y12+12y22−9y32=18y_1^2+\frac{1}{2}y_2^2-9y_3^2=18y12​+21​y22​−9y32​=1

则有：(22y1)2+(12y2)2−(3y3)2=z12+z22+z32=1(2\sqrt 2y_1)^2+(\frac{1}{\sqrt 2}y_2)^2-(3y_3)^2=z_1^2+z_2^2+z_3^2=1(22​y1​)2+(2​1​y2​)2−(3y3​)2=z12​+z22​+z32​=1

z12+z22+z32=1z_1^2+z_2^2+z_3^2=1z12​+z22​+z32​=1 这种形式就是规范型，但注意它对于原来的图形在形状上已经伸缩变换了。

例：求一个正交变换 $x=Py$，把二次型 f=−2x1x2+2x1x3+2x2x3f=-2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3f=−2x1​x2​+2x1​x3​+2x2​x3​ 化为标准型

想将二次型化为标准型，其实就是求我们上述所讲的矩阵 $P$ 和矩阵 $\Lambda$，由于矩阵 $P$ 中的列向量就是矩阵 $A$ 的特征向量，而矩阵 $\Lambda$ 中的值则为矩阵 $A$ 的特征值，因此我们首先要求出来矩阵 $A$ 的特征向量和特征值。

易得该二次型对应的矩阵表达式为：

f(x)=[x1x2x3][0−11−101110][x1x2x3]f(x)=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}f(x)=[x1​​x2​​x3​​]⎣⎡​0−11​−101​110​⎦⎤​⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​

要想化为标准型，我们首先要找到矩阵 $A$ 对应的对角阵 $\Lambda$，也就是也行哦爱你找到矩阵 $A$ 对应的特征值。

因 $(A-\lambda E)x=0$，由 $(A-\lambda E)=0$ 得有：

即：{λ1=−2λ2=λ3=1\begin{cases} \lambda_1=-2 \\ \lambda_2=\lambda_3=1 \end{cases}{λ1​=−2λ2​=λ3​=1​

当 λ1=−2\lambda_1=-2λ1​=−2 时，A−λ1E=[2−11−121112]∼[101011000]A-\lambda_1 E=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}A−λ1​E=⎣⎡​2−11​−121​112​⎦⎤​∼⎣⎡​100​010​110​⎦⎤​

新的齐次方程组为：{x1+x3=0x2+x3=0\begin{cases} x_1 + x_3 = 0 \\ x_2 + x_3 =0 \end{cases}{x1​+x3​=0x2​+x3​=0​

自由变量个数为 $n-R(A-\lambda E)=1$，主元为x1,x2x_1, x_2x1​,x2​，自由变量为 x3x_3x3​

易得基础解系：[x1x21]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1 \end{bmatrix}⎣⎡​x1​x2​1​⎦⎤​

代入易得，特征向量 ξ1=[−1−11]\xi_1=\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}ξ1​=⎣⎡​−1−11​⎦⎤​

对于一般做法，我们这是会同理得 特征向量 ξ2=[−110],ξ3=[101]\xi_2=\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \xi_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}ξ2​=⎣⎡​−110​⎦⎤​,ξ3​=⎣⎡​101​⎦⎤​，同时观察到 ξ1\xi_1ξ1​ 和 ξ2\xi_2ξ2​ 正交，但是由于这里的特征向量是正交矩阵中的列向量，因此特征向量 ξ1,ξ2,ξ3\xi_1,\xi_2,\xi_3ξ1​,ξ2​,ξ3​ 之间两两正交，而这时如果我们这样求出来 ξ2\xi_2ξ2​ 和 ξ3\xi_3ξ3​ 的话，紧接着要使用施密特正交法进行处理，增大了计算量，因此当我们求出 ξ1\xi_1ξ1​ 和 ξ2\xi_2ξ2​ 时，参考正交矩阵两两正交的性质来求出特征向量 ξ3\xi_3ξ3​，而不使用一般的方法建立基础解系来求 ξ3\xi_3ξ3​。

同理得特征向量 ξ2=[−110]\xi_2=\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}ξ2​=⎣⎡​−110​⎦⎤​

由于 ξ1,ξ2,ξ3\xi_1, \xi_2, \xi_3ξ1​,ξ2​,ξ3​ 之间两两正交，则易得 ξ3=[112]\xi_3=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}ξ3​=⎣⎡​112​⎦⎤​

将特征向量单位化后得：p1=13[112],p2=12[112],p3=16[112]p_1=\frac{1}{\sqrt 3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, p_2=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, p_3=\frac{1}{6}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}p1​=3​1​⎣⎡​112​⎦⎤​,p2​=2​1​⎣⎡​112​⎦⎤​,p3​=61​⎣⎡​112​⎦⎤​

则正交矩阵 P=[p1p2p3]P=\begin{bmatrix} p_1 & p_2 & p_3 \end{bmatrix}P=[p1​​p2​​p3​​]

易得该二次型对应的标准型：f(y)=−2y12+y22+y32f(y)=-2y_1^2+y_2^2+y_3^2f(y)=−2y12​+y22​+y32​

总结：这里二次型转标准型的计算过程基本和前一章节的求法相同，主要是求特征值和特征向量，这两个求出来，结果自然也就出来了。

例：求椭圆 x2+4xy+5y2=1x^2+4xy+5y^2=1x2+4xy+5y2=1 的面积

二次型转换为其标准型，图形形状不变，则图形对应面积也不变，因此我们可以先将不标准的椭圆标准化得到其标准型，然后再求面积即可。

易得该二次型的矩阵表达式：f(x,y)=[xy][1225][xy]f(x,y)=\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}f(x,y)=[x​y​][12​25​][xy​]，其中 A=[1225]A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}A=[12​25​]

由 $(A-\lambda E)x=0$ 得 ∣A−λE∣=∣1−λ225−λ∣=λ2−6λ+1=0|A-\lambda E| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 5-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-6\lambda+1=0∣A−λE∣=∣∣​1−λ2​25−λ​∣∣​=λ2−6λ+1=0

求根公式得 {λ1=6+422λ2=6−422\begin{cases} \lambda_1 = \frac{6+4\sqrt 2}{2} \\ \lambda_2 = \frac{6-4\sqrt 2}{2} \end{cases}{λ1​=26+42​​λ2​=26−42​​​

求根公式 (初中数学)：x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​

特征值较复杂，对应的特征向量应该也比较复杂，因此这里紧接着先不算特征向量，因为对于这道题我们并没有必要去求正交矩阵。

假设特征向量为 ξ1,ξ2\xi_1, \xi_2ξ1​,ξ2​

则矩阵 Q=[ξ1ξ2]Q=\begin{bmatrix} \xi_1 & \xi_2 \end{bmatrix}Q=[ξ1​​ξ2​​]，Λ=QTAQ=[λ100λ2]\Lambda=Q^TAQ=\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}Λ=QTAQ=[λ1​0​0λ2​​]

设标准型下 $x,y$ 对应的两个未知数分别为 $u,v$

则有 [xy]=Q[uv]\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = Q\begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}[xy​]=Q[uv​]，则原式 f=λ1u2+λ2v2=1f=\lambda_1 u^2+ \lambda_2 v^2=1f=λ1​u2+λ2​v2=1

整理得：u2(1λ1)2+v2(1λ2)2=1\frac{u^2}{(\sqrt{\frac{1}{\lambda_1}})^2}+\frac{v^2}{(\sqrt{\frac{1}{\lambda_2}})^2}=1(λ1​1​​)2u2​+(λ2​1​​)2v2​=1

这里就是椭圆的标准公式：x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a2x2​+b2y2​=1

即 a=1λ1,b=1λ2a=\sqrt{\frac{1}{\lambda_1}},b=\sqrt{\frac{1}{\lambda_2}}a=λ1​1​​,b=λ2​1​​

由椭圆面积公式得：S=πab=πλ1λ2=π1=πS=\pi ab=\frac{\pi}{\sqrt{\lambda_1 \lambda_2}}=\frac {\pi}{1}=\piS=πab=λ1​λ2​​π​=1π​=π

正交变换具有保形性，变化前后图形形状不会发生改变

配方法

配方法很简单，共分为两种情况，这里直接通过举例来进行说明。

1. 二次型中存在平方项则直接使用最简单粗暴的方法凑平方
2. 二次型中不存在平方项我们先变换一次得到第一种情况，再使用相同的方法凑平方

简而言之，无论哪种情况，我们的目的都是凑平方，消去非平方项，再将平方项从 $x$ 映射到 $y$ 即可。

配方法的第一种使用情况

三个主要步骤：

1. 式子配方成平方相加减的形式
2. 写过渡矩阵，并验证该过渡矩阵行列式不为0 (矩阵可逆)
3. 根据要求算出指定结果

例：化二次型 f=x12+2x22+5x32+2x1x2+2x1x3+6x2x3f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3f=x12​+2x22​+5x32​+2x1​x2​+2x1​x3​+6x2​x3​ 成标准型，并求出所使用的变换矩阵。

到这里，已经求出来该二次型对应的标准型了，即：f=y12+y22f=y_1^2+y_2^2f=y12​+y22​，接下来求变换矩阵。

令 {y1=x1+x2+x3y2=x2+2x3y3=x3\begin{cases} y_1 = x_1+x_2+x_3 \\ y_2=x_2+2x_3 \\ y_3=x_3 \end{cases}⎩⎨⎧​y1​=x1​+x2​+x3​y2​=x2​+2x3​y3​=x3​​，则有 {x1=y1−y2+y3x2=y2−2y3x3=y3\begin{cases} x_1=y_1-y_2+y_3 \\ x_2=y_2-2y_3 \\ x_3=y_3 \end{cases}⎩⎨⎧​x1​=y1​−y2​+y3​x2​=y2​−2y3​x3​=y3​​

注意这里尽管没有第三个项，y3y_3y3​ 也不能为0，我们把式子配方成平方相加减的形式就是为了去掉所有的非平方项，剩下的这些平方项就是我们前面所说的 $x$ 对应的标准型下的变量 $y$，二次型中 $x$ 有三个，那 $y$ 也有三个，因此不能置为0，关于 $y$ 的值，一般指定为对应的 $x$ 的值，这样比较有利于计算。

由 $x=Qy$ 得，即 [x1x2x3]=[y1−y2+y3y2−2y3y3]=[q11q12q13q21q22q23q31q32q33][y1y2y3]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1-y_2+y_3 \\ y_2-2y_3 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q_{11} & q_{12} & q_{13} \\ q_{21} & q_{22} & q_{23} \\ q_{31} & q_{32} & q_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​=⎣⎡​y1​−y2​+y3​y2​−2y3​y3​​⎦⎤​=⎣⎡​q11​q21​q31​​q12​q22​q32​​q13​q23​q33​​⎦⎤​⎣⎡​y1​y2​y3​​⎦⎤​

易得变换矩阵 Q=[1−1101−2001]Q=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}Q=⎣⎡​100​−110​1−21​⎦⎤​，且 $|Q|\ne 0$

ps：上下三角形矩阵一定可逆，因为对应行列式展开之后只有一种符号(全+或全-)

综上所述，对应标准型：f=y12+y22f=y_1^2+y_2^2f=y12​+y22​，变换矩阵：Q=[1−1101−2001]Q=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}Q=⎣⎡​100​−110​1−21​⎦⎤​

配方法的第二种使用情况

例：化二次型 f=2x1x2+2x1x3−6x2x3f=2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3f=2x1​x2​+2x1​x3​−6x2​x3​ 成规范型，并求出所使用的的变换矩阵。

思路：二次型中没有平方项，我们可以用平方差产生平方项

令 {x1=y1+y2x2=y1−y2x3=y3\begin{cases} x_1=y_1+y_2 \\ x_2=y_1-y_2 \\ x_3=y_3 \end{cases}⎩⎨⎧​x1​=y1​+y2​x2​=y1​−y2​x3​=y3​​

这里设置什么样的映射都可以，但需要保证使得计算简便，求出的过渡矩阵可逆。

则由 [x1x2x3]=C1[y1y2y3]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = C_1\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix}⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​=C1​⎣⎡​y1​y2​y3​​⎦⎤​ 易得，C1=[1101−10001]C_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}C1​=⎣⎡​110​1−10​001​⎦⎤​，∣C1∣≠0|C_1| \neq 0∣C1​∣=0

则有：

这里因为要求的不是标准型，而是标准型对应的规范型，因此将每项的系数都变换为1、-1、0的形式。

令 {z1=2(y1−y3)z2=2(y2−2y3)z3=6y3\begin{cases} z_1=\sqrt 2(y_1-y_3) \\ z_2=\sqrt 2(y_2-2y_3) \\ z_3=\sqrt 6 y_3 \end{cases}⎩⎨⎧​z1​=2​(y1​−y3​)z2​=2​(y2​−2y3​)z3​=6​y3​​，则有：{y1=12z1+16z3y2=12z2+26z3y3=16z3\begin{cases} y_1= \frac {1}{\sqrt 2}z_1+\frac{1}{\sqrt 6}z_3\\ y_2=\frac{1}{\sqrt 2}z_2 + \frac{2}{\sqrt 6}z_3 \\ y_3=\frac{1}{\sqrt 6}z_3 \end{cases}⎩⎨⎧​y1​=2​1​z1​+6​1​z3​y2​=2​1​z2​+6​2​z3​y3​=6​1​z3​​

由 [y1y2y3]=C2[z1z2z3]\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = C_2\begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix}⎣⎡​y1​y2​y3​​⎦⎤​=C2​⎣⎡​z1​z2​z3​​⎦⎤​ 易得，C2=[12016012260016]C_2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} & 0 & \frac{1}{\sqrt 6} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{2}{\sqrt 6} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt 6} \end{bmatrix}C2​=⎣⎡​2​1​00​02​1​0​6​1​6​2​6​1​​⎦⎤​，∣C2∣≠0|C_2| \neq 0∣C2​∣=0

由 x=C1y,y=C2zx=C_1y, y=C_2zx=C1​y,y=C2​z 得，x=C1C2zx=C_1C_2zx=C1​C2​z

C=C1C2=[1101−10001][12016012260016]=[12123612−12−160016]C=C_1C_2=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} & 0 & \frac{1}{\sqrt 6} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{2}{\sqrt 6} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt 6} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{3}{\sqrt 6} \\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{-1}{\sqrt 2} & \frac{-1}{\sqrt 6} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt 6}\end{bmatrix}C=C1​C2​=⎣⎡​110​1−10​001​⎦⎤​⎣⎡​2​1​00​02​1​0​6​1​6​2​6​1​​⎦⎤​=⎣⎡​2​1​2​1​0​2​1​2​−1​0​6​3​6​−1​6​1​​⎦⎤​，$|C|\ne 0$

综上所述，对应的标准型为 f=z12−z22+z32f=z_1^2-z_2^2+z_3^2f=z12​−z22​+z32​，变换矩阵为 [12123612−12−160016]\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{3}{\sqrt 6} \\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{-1}{\sqrt 2} & \frac{-1}{\sqrt 6} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt 6}\end{bmatrix}⎣⎡​2​1​2​1​0​2​1​2​−1​0​6​3​6​−1​6​1​​⎦⎤​

总结

配方法相对更加简单，但配方法不具有保形性，也就是使用配方法进行变换后原图形可能伸缩或拉伸，如果要求求图形面积，就不能用配方法了，只能用正交变换的方法。

正/负 定二次型

惯性定理

定理 (惯性定理)：二次型的标准型显然不是唯一的，只是标准型中所含项数 (二次型的秩) 是确定的，不仅如此，在限定变换为实变换时，标准型中正系数或负系数的个数是不变的，也就是有：

• 设二次型 f=xTAxf=x^TAxf=xTAx 的秩为 $r$，且有两个可逆变换 $x=Cy$ 和 $x=Pz$
• 使：f=k1y12+k2y22+⋯+kryr2(ki≠0)f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots+k_ry_r^2 \quad (k_i \neq 0)f=k1​y12​+k2​y22​+⋯+kr​yr2​(ki​=0)
• 及：f=λ1z12+λ2z22+⋯+λrzr2(λi≠0)f=\lambda_1z_1^2+\lambda_2z_2^2+\cdots+\lambda_rz_r^2 \quad (\lambda_i \neq 0)f=λ1​z12​+λ2​z22​+⋯+λr​zr2​(λi​=0)
• 则：k1,k2,⋯ ,krk_1,k_2,\cdots,k_rk1​,k2​,⋯,kr​ 中正数的个数与 λ1,λ2,⋯ ,λr\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_rλ1​,λ2​,⋯,λr​ 中正数的个数相等

以一个三个未知数的二次型为例，令 $f(x,y,z)=1$，表示空间上的一个曲面，将该二次型化为标准型后有三种情况，当三个系数都为正数的话表示一个椭球；若三个系数中一负两正，则表示一个单叶双曲面；若三个系数中一正两负，则表示一个双叶双曲面。

二次型中所做的各种可逆变换的本质是将这个曲面进行平移、旋转、缩放等

图形位置变换的本质：这里所说将这个曲面(图形)进行移动并不标准，因为本质上是相似变换，也就是基在变换，但达到的效果和曲面(图形)进行移动是相同的。

图形被伸缩或拉伸的本质：新的基与原来的基相比某些方向的单位向量大小不同。

也就是说图形本身没有变化，但衡量它的标准变化了，因此在新的标准下它看起来位置变换了或者伸缩拉伸了，而新旧标准(基)对于我们来说只是换了套坐标系。

二次型化为标准型中使用正交变换的话图形是不变的，但使用其它方法形状可能会发生一定的改变，如伸缩、拉伸等，但是无论这个图形怎样伸缩，例如单叶双曲面再怎么伸缩也是单叶双曲面，不可能通过伸缩或拉伸变成一个椭球，而它的形状又是由二次型中的系数的正负来决定的，因此变换前后正系数和负系数的个数不变。

为什么被称为惯性定理：类似于惯性中物体拥有保持当前运动状态的性质，图形也拥有保持当前形状不变的特性，因此被称为惯性定理。

正惯性指数和负惯性指数

二次型的标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性指数；负系数的个数称为福惯性指数。若二次型 $f$ 的正惯性指数为 $p$，秩为 $r$，则 $f$ 的规范型便可确定为：f=y12+⋯+yp2−yp+12−⋯−yr2f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2f=y12​+⋯+yp2​−yp+12​−⋯−yr2​

正惯性指数为 $p$，二次型的秩为 $r$，则负惯性指数就为 $r-p$

正/负定判断条件

定义：若二次型 f=xTAxf=x^TAxf=xTAx 对任何 $x\ne 0$ 都有 $f>0$，则称 $f$ 为正定二次型，正定二次型的矩阵 $A$ 为正定矩阵。例如 f=x12+2x22+5x32+8x42+6x52f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+8x_4^2+6x_5^2f=x12​+2x22​+5x32​+8x42​+6x52​ 就是一个正定二次型。

• 若 $A$ 正定，则 $A$ 一定可逆，A−1A^{-1}A−1 和 A∗A^*A∗ 也一定正定

$A$ 为正定矩阵，则 $A$ 为对角阵且 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_nλ1​,λ2​,⋯,λn​ 全都大于0，由于 ∣A∣=λ1λ2⋯λn|A|=\lambda_1 \lambda_2\cdots\lambda_n∣A∣=λ1​λ2​⋯λn​，则 $|A|\ne 0$，因此矩阵 $A$ 一定可逆。

若 $A$ 的特征值为 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_nλ1​,λ2​,⋯,λn​，则 A−1A^{-1}A−1 的特征值为 1λ1,1λ2,⋯ ,1λn\frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}, \cdots, \frac{1}{\lambda_n}λ1​1​,λ2​1​,⋯,λn​1​，因此当然 A−1A^{-1}A−1 也正定。

由 $Ax=\lambda x$ 两边同乘 A−1A^{-1}A−1 易得 A−1x=1λxA^{-1}x=\frac{1}{\lambda}xA−1x=λ1​x，则 A∗∣A∣x=1λx\frac{A^*}{|A|}x=\frac{1}{\lambda}x∣A∣A∗​x=λ1​x，整理得 A∗x=∣A∣λxA^*x=\frac{|A|}{\lambda}xA∗x=λ∣A∣​x。可见若$A$ 的特征值为 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_nλ1​,λ2​,⋯,λn​，则A∗A^*A∗ 的特征值为 ∣A∣λ1,∣A∣λ2,⋯ ,∣A∣λn\frac{|A|}{\lambda_1}, \frac{|A|}{\lambda_2}, \cdots, \frac{|A|}{\lambda_n}λ1​∣A∣​,λ2​∣A∣​,⋯,λn​∣A∣​，已知 $|A|>0$，因此 A∗A^*A∗ 肯定也正定。

正定二次型判别法 (三个充要条件)：

1. $f$ 的标准型的 $n$ 个系数全为正
2. $f$ 的正惯性指数为 $n$ ($f$ 的秩等于其正惯性指数)
3. $f$ 的矩阵 $A$ 的特征值全大于0

这三个条件其实都是等价的，不同说法而已

定义：若二次型 f=xTAxf=x^TAxf=xTAx 对任何 $x\ne 0$ 都有 $f<0$，则称 $f$ 为负定二次型，负定二次型的矩阵 $A$ 为负定矩阵。例如 f=−x12−2x22−5x32−8x42−6x52f=-x_1^2-2x_2^2-5x_3^2-8x_4^2-6x_5^2f=−x12​−2x22​−5x32​−8x42​−6x52​ 就是一个负定二次型

负定二次型判别法 (三个充要条件)：

1. $f$ 的标准型的 $n$ 个系数全为负
2. $f$ 的负惯性指数为 $n$ ($f$ 的秩等于其负惯性指数)
3. $f$ 的矩阵 $A$ 的特征值全小于0

对于负定二次型，和正定二次型的概念基本相同，不过相反而已，就不再过多解释了。

赫尔维茨定理

定理 (赫尔维茨定理)：对称矩阵 $A$ 为正定的充分必要条件是：$A$ 的各阶主子式都为正，即 a11>0,[a11a12a21a22]>0,⋯ ,[a11⋯a1n⋮⋮an1⋯ann]>0a_{11}>0,\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} >0,\cdots, \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} > 0a11​>0,[a11​a21​​a12​a22​​]>0,⋯,⎣⎡​a11​⋮an1​​⋯⋯​a1n​⋮ann​​⎦⎤​>0。

对称矩阵 $A$ 为负定的充分必要条件为：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即 (−1)r[a11⋯a1n⋮⋮an1⋯ann]>0(r=1,2,⋯ ,n)(-1)^r\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} > 0 \quad (r=1,2,\cdots,n)(−1)r⎣⎡​a11​⋮an1​​⋯⋯​a1n​⋮ann​​⎦⎤​>0(r=1,2,⋯,n)。

主子式：矩阵对应行列式沿主对角线上的 $n$ 阶子式。

有时候矩阵的特征值比较难求，这时候就可以用赫尔维茨定理

如：若二次型 f=x12+2x22+5x32+8x42+6x52f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+8x_4^2+6x_5^2f=x12​+2x22​+5x32​+8x42​+6x52​

易得矩阵 A=[12586]A=\begin{bmatrix} 1 & & & & \\ & 2 & & & \\ && 5 && \\ &&& 8 & \\ &&&& 6 \end{bmatrix}A=⎣⎡​1​2​5​8​6​⎦⎤​

其中 ∣1∣,∣1002∣,∣100020005∣,∣1000020000050080∣,∣1000002000005000000800006∣\begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 0\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} 1 & 0 &0 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 0\\ 0 & 0&0&0&8\\0&0&0&0&6 \end{vmatrix}∣∣​1​∣∣​,∣∣​10​02​∣∣​,∣∣​100​020​005​∣∣​,∣∣​1000​0200​0008​0050​∣∣​,∣∣​10000​02000​00500​00000​00086​∣∣​ 都大于0，因此该二次型为正定二次型。负定二次型同理

例：判定二次型 f=−5x2−6y2−4z2+4xy+4xzf=-5x^2-6y^2-4z^2+4xy+4xzf=−5x2−6y2−4z2+4xy+4xz 的正定性

易得该二次型对应的矩阵表达式：f=[xyz][−5222−6020−4][xyz]f=\begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -5 & 2 & 2 \\ 2 & -6 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}f=[x​y​z​]⎣⎡​−522​2−60​20−4​⎦⎤​⎣⎡​xyz​⎦⎤​

其中 A=[−5222−6020−4]A = \begin{bmatrix} -5 & 2 & 2 \\ 2 & -6 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \end{bmatrix}A=⎣⎡​−522​2−60​20−4​⎦⎤​

• 一阶主子式：$-5<0$

• 二阶主子式：[−522−6]=26>0\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 2 & -6 \end{bmatrix}=26>0[−52​2−6​]=26>0

• 三阶主子式：[−5222−6020−4]=−80<0\begin{bmatrix} -5 & 2 & 2 \\ 2 &-6 & 0 \\ 2 & 0 & -4 \end{bmatrix}=-80 < 0⎣⎡​−522​2−60​20−4​⎦⎤​=−80<0

由赫尔维茨定理易得，该二次型负定

例：设 f=x12+x22+5x32+2ax1x2−2x1x3+4x2x3f=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2ax_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3f=x12​+x22​+5x32​+2ax1​x2​−2x1​x3​+4x2​x3​ 为正定二次型，求 $a$ 的取值范围

对于这种题最合适的方法就是赫尔维茨定理，因为带着参数值去求特征值是比较麻烦的

该二次型对应矩阵表达式为：f=[x1x2x3][1a−1a12−125][x1x2x3]f=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & a & -1 \\ a & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}f=[x1​​x2​​x3​​]⎣⎡​1a−1​a12​−125​⎦⎤​⎣⎡​x1​x2​x3​​⎦⎤​

由该二次型为正定二次型得：

• 一阶主子式：$1>0$
• 二阶主子式：[1aa1]=1−a2>0\begin{bmatrix} 1 & a \\ a & 1 \end{bmatrix} = 1-a^2 > 0[1a​a1​]=1−a2>0
• 三阶主子式：$|A|=-a(4+5a)>0$

即：{1−a2>0−a(4+5a)>0\begin{cases} 1-a^2 > 0 \\ -a(4+5a) > 0 \end{cases}{1−a2>0−a(4+5a)>0​，解得 −45<a<0-\frac{4}{5}<a<0−54​<a<0

第二个式子是一个抛物线(二次函数),可以很容易得到x轴上的两个点以及其开口向下

矩阵合同

回顾前面讲的矩阵合同和合同变换的知识：设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $C$，使得 B=CTACB=C^TACB=CTAC，则称 $A$ 与 $B$ 合同，记作 . ，这种对矩阵 $A$ 的运算被称为合同变换。

根据上面的惯性定理，两矩阵合同就等价于两矩阵的正惯性指数、负惯性指数、二次型的秩都相同。

• 即充要条件：矩阵 $A,B$ 合同 $\leftrightarrow p,q,r$ 相同

$p$：正惯性指数，$q$：负惯性指数，$r$：二次型的秩

f=xTAx=yTByf=x^TAx = y^TByf=xTAx=yTBy，这里矩阵 $A,B$ 的关系就是合同，而将一个二次型化为一个标准型时会保持一个惯性，可以理解成，合同变换就是基于 $p,q,r$ 不发生改变而完成的变换，后者是前者的充要条件。

例：设矩阵 A=[002010200],B==[10001000−1]A=\begin{bmatrix} 0&0&2\\0&1&0\\2&0&0\end{bmatrix},B==\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}A=⎣⎡​002​010​200​⎦⎤​,B==⎣⎡​100​010​00−1​⎦⎤​，则两矩阵是否相似？是否合同？

• 对于矩阵 $A$：由 $|A-\lambda E|=0$ 得特征值为 1,2,-2；易得 $p=2,q=1,r=3$
• 对于矩阵 $B$：同理得特征值为 1,1,-1；易得 $p=2,q=1,r=3$

因此矩阵 $A,B$ 合同但不相似。

特征值相同是矩阵相似的必要条件，而合同则是要看这两个矩阵的 $p,q,r$是否相同