一 简介

1.1 说明

此算法与Floyd和Brent算法一样，都是寻找由函数F(X)产生的序列S中是否存在循环，而且多用在非循环序列比循环序列长的序列中。上面提到的两个算法已经有很多人科普，唯独这个算法没有人科普，我就献丑了。

与前面所提到的两个算法不同，此算法需要维护一个堆栈结构Stack，该栈结构存储着目前序列出现的最小点（distinguished points），而这些点很可能会出现在循环里。当然，事关效率与资源问题，这些点不能多也不能少。为了增加效率，Stack中的序列必须有序（递增），才能使用二分查找算法进行比对以减少时间复杂度。

1.2 结论

假设非循环序列长度为s，循环序列为l。

1. 算法发现碰撞时，相遇点（不是碰撞点）在第一轮循环之后，范围在[s+l,s+2l-1]；
2. 内存消耗很少；
3. 该算法找碰撞点与计算s和l的大小都比前面提到的两个算法简单且快速。

二 算法描述

2.1 文字描述

1. 初始化栈S，并将第一个产生的X0以(X0, 0)的形式放到栈里。
2. 生成Xi，并在S中进行二分搜索，若没有发现Xi则进行3，若发现已存在Xi则进行4。
3. 将S中值大于Xi的值剔除，并添加(Xi, i)入S，重复2。
4. 发现已存在点(Xi, j)。发现存在循环，算法结束。

2.2 伪代码

Require: Input initial sequence value X0, max. iterations M
Create empty stack S
Let x ←− X0
Add pair (x, 0) to the stack
for i from 1 to M do
	Let x ←− F(x)Search x by dichotomy in the (sorted) first component
	if (x, j) is found then
		Output ‘Collision between i and j’
		Exit
	else
		We know that Sk < x < Sk+1
		Truncate S after Sk
		Add pair (x, i) at the end of S
	end if
end for
Output Failed

2.3 计算非循环序列长度s以及碰撞点

已发现(Xi, j)存在在S中，则Xi则是S中从左到右第一个在循环里面的点，记录该点a，则只需遍历a~j即可到达碰撞点，得到s。

2.4 计算循环序列长度l

不像上面提到的两个算法，这里的i-j=t，t=l，而不是l的倍数关系！（i为后Xi，j为前面的Xi）

2.5 例子

假设函数F产生的序列为：

1 4 2 5 6 3 6

得到：(3,7)与(3,5)相遇，则环的长度l=7-5=2，碰撞点（环开始的地方）在2~5之间。