【数据结构和算法】动态规划和递归两种方式解决

1，动态规划求解

这题求的是从左上角到右下角，路径上的数字和最小，并且每次只能向下或向右移动。所以上面很容易想到动态规划求解。我们可以使用一个二维数组dp，dp[i][j]表示的是从左上角到坐标(i，j)的最小路径和。那么走到坐标(i，j)的位置只有这两种可能，要么从上面(i-1，j)走下来，要么从左边（i，j-1）走过来，我们要选择路径和最小的再加上当前坐标的值就是到坐标（i，j）的最小路径。

所以递推公式就是

dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+dp[i][j-1])+grid[i][j];

有了递推公式再来看一下边界条件，当在第一行的时候，因为不能从上面走下来，所以当前值就是前面的累加。同理第一列也一样，因为他不能从左边走过来，所以当前值只能是上面的累加。

比如上面图中，如果我们走到中间这一步的话，我们可以从上面1→3→5走过来，也可以从左边1→1→5，我们取最小的即可。我们来看下代码

    public int minPathSum(int[][] matrix) {
        int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = matrix[0][0];
        //第一列只能从上面走下来
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + matrix[i][0];
        }
        //第一行只能从左边走过来
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[0][i] = dp[0][i - 1] + matrix[0][i];
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                //递推公式，取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + matrix[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }

我们看到二维数组dp和二维数组matrix的长和宽都是一样的，没必要再申请一个dp数组，完全可以使用matrix，来看下代码

    public int minPathSum(int[][] matrix) {
        int m = matrix.length, n = matrix[0].length;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (i == 0 && j == 0)
                    continue;
                if (i == 0) {
                    //第一行只能从左边走过来
                    matrix[i][j] += matrix[i][j - 1];
                } else if (j == 0) {
                    //第一列只能从上面走下来
                    matrix[i][j] += matrix[i - 1][j];
                } else {
                    //递推公式，取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值
                    matrix[i][j] += Math.min(matrix[i - 1][j], matrix[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return matrix[m - 1][n - 1];
    }

2，递归求解

我们还可以把上面的动态规划改为递归，定义一个函数

minPathSum(int[][] grid, int i, int j)表示从左上角到坐标(i，j)的最短路径和，那么同样道理，要走到坐标(i，j)只能从上面下来或者左边过来。所以代码轮廓我们大致能写出来

public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j) {
    if (边界条件的判断) {
        return
    }

    //一些逻辑处理

    //取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值
    return grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j), minPathSum(grid, i, j - 1));
}

下面再来看下完整代码（注意这种会超时）

public int minPathSum(int[][] grid) {
    return minPathSum(grid, grid.length - 1, grid[0].length - 1);
}

public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j) {
    if (i == 0 && j == 0)
        return grid[i][j];
    //第一行只能从左边走过来
    if (i == 0)
        return grid[i][j] + minPathSum(grid, i, j - 1);
    //第一列只能从上面走下来
    if (j == 0)
        return grid[i][j] + minPathSum(grid, i - 1, j);
    //取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值
    return grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j), minPathSum(grid, i, j - 1));
}

因为这里面的递归会导致大量的重复计算，所以还是老方法，就是把计算过的值存储到一个map中，下次计算的时候先看map中是否有，如果有就直接从map中取，如果没有再计算，计算之后再把结果放到map中，来看下代码

public int minPathSum(int[][] grid) {
    return minPathSum(grid, grid.length - 1, grid[0].length - 1, new HashMap<string, integer>());
}

public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j, Map<string, integer> map) {
    if (i == 0 &amp;&amp; j == 0)
        return grid[i][j];
    String key = i + "*" + j;
    if (map.containsKey(key))
        return map.get(key);
    int res = 0;
    //第一行只能从左边走过来
    if (i == 0)
        res = grid[i][j] + minPathSum(grid, i, j - 1, map);
        //第一列只能从上面走下来
    else if (j == 0)
        res = grid[i][j] + minPathSum(grid, i - 1, j, map);
        //取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值
    else
        res = grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j, map), minPathSum(grid, i, j - 1, map));
    map.put(key, res);
    return res;
}

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