金字塔(区间DP+dfs序)

题意：

给定序列表示dfs一棵树遍历得到的顺序，每次经过一个节点都输出该节点对应的字母，求有多少棵树满足此序列。

思路：

首先根据dfs的过程可以得到如果一棵树有n个节点的话，他的序列长度为2n-1；所以如果给出的长度为m的话，节点数量n=(m+1)/2。所以如果说给出的序列长度是偶数的话，答案一定为0；即每个子树的dfs序列长度必定为奇数。

因为一段dfs序列可以对应一棵子树，考虑动态规划。

dp[l] [r] 表示所有dfs序列是s[l~r]的树的个数，划分依据为最后一棵子树的范围，即枚举最后一棵子树dfs序列的起点k,区间[k,r]表示这棵子树。根据上文我们可以知道该段区间的长度必定为奇数，所以k=l,l+2……r-2.因为必须要是子树，r-1只有两个节点，都是根节点，不是子树，所以枚举到r-2。

再来考虑状态计算。根据乘法原理，dp[l] [r]=l到k的序列构成的方案数×最后一棵子树的种类。对于后者，把根节点去掉后，又可以变成[k+1,r-1]的序列构成的方案数，这样就可以不断计算下去。

最后，并不是所有的状态都是合法的，因为是dfs，所以起点和终点一定是相同的，也就是说l,r,k的字符串的值都是相同的。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[310];
typedef long long ll;
ll dp[310][310];
const int mod=1e9;
int main(){
    cin>>s+1;
    int n=strlen(s+1);
    if(n%2==0){
        puts("0");
        return 0;
    }
    for(int len=1;len<=n;len+=2){
        for(int l=1;l+len-1<=n;l++){
            int r=l+len-1;
            if(len==1) dp[l][r]=1;
            else{
                if(s[l]==s[r]){
                    for(int k=l;k<=r-2;k+=2){
                        if(s[l]==s[k]){
                            dp[l][r]=(dp[l][r]+dp[l][k]*dp[k+1][r-1])%mod;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    printf("%lld\n",dp[1][n]);
    return 0;
}