常见定积分计算思考补充
- 定积分的计算问题的一般解题的思维流程
- 首先，确定定积分计算类型，如果是已知函数定积分类型，我们需要进一步判断该定积分是不是反常积分，因为反常积分的计算与常见的定积分计算不太一样，一般真题上给出的反常积分无界函数的反常积分占的比例很大，而对于这类题型我们采取常规的定积分计算，就会容易掉进出题人挖的坑。因此，我们需要分段求解，利用奇点进行划分。
- 其次，在面对已知函数定积分时，我们采取的手段有多样，常用计算方法有凑微分、第二型换元（三角换元、倒代换、根式换元等）、分部积分、有理函数积分。这里补充，第二型换元法求定积分问题以及使用范围。比如区间再现公式，常见被积函数有f(x)=xsin^n(x)，而区间处在
。这时候我们利用区间再现公式即f(a+b-x)=f(x)一般可以简化运算。而对于sinx的n次方这类函数求定积分时，一般使用点火公式和三角函数倍角/半角公式进行求解（有的题万能公式也能解决，但一般少用），而对于f(x)
n>=2这类函数的定积分是无法求解出来的。这类题型一般会出现在定积分比大小的题型里。
- 最后，关于定积分的简化方法，还包括1的应用(tan^2(x)+1=sec^2(x);cot^2(x)+1=csc^2(x)；1=sin^2(x)+cos^2(x)，根式有理化等方法)。
2.定积分几何和物理应用的解题思维流程
- 几何应用对于我而言问题比较大。而通过我最近一段数刷题，我想暂时总结有限几个方面的一些思路。一个是被积函数已知，一个是被积函数未知。在面对被积函数未知的题，关键是利用题目的已知条件，构建变量与导数之间的一个微分方程，然后求解即可得出被积函数方程。而对于已知函数求解函数的几何量，包括平面图形的面积、旋转体的体积、光滑曲线的弧长和弧微分、旋转体的侧面积、函数的平均值，旋转体的侧面积、平面图形的形心。这里，我们对课本上给出公式做一个总结：
（1）平面图形的面积
S=
S=在这里边，公式不难记，而在于公式的正确运用，这时我们需要在记忆课本上心形线的4个图形、摆线、星形线、伯努利双曲线、阿基米德螺线的极坐标方程、参数方程和直角坐标方程，并且我们需要对一般方程以及极坐标方程画出其大致图像，这样才能正确做对题目，而对于这类题，主要难点还是画图，这一点需要记住//补充摆线第一拱的长度为8。
（2）旋转体体积
绕x轴，Vx=。绕y轴Vy=
。
这里是一个重点也是个难点，并在大题中公式往往不能直接使用，需要具体问题具体分析。我在这里掉坑的次数已经达到无限次（尴尬）。另外我们知道参考书上给的这两个公式的得出，绕y轴得出的图像实则是一个中空的具有一定厚度的图形，故利用dv=2Πx|f(x)|dx作为微元，以x为半径。而绕x轴得出的图形为两个类似两端不等的大小圆构成的壶状物，得出的微元是dv=Πf(x)^2d(x)以f(x)为半径，它们均为f(x)与x轴围成的面积旋转得出。而有的f(x)并不与x轴围成时，在计算体积时，我们就必须要自己构造微元求解。另外如果，题目出的难一点，比如，绕某一y=b或者x=a直线旋转，计算体积。那么微元变化绕x轴dv=Πf^2(x-a)dx，绕y轴就变成了dv=2Π(x-b)|f(x-b)|dx，需要进行相应的变化。
(3)平面曲线的弧长。
这三个分别是直角坐标，参数方程，极坐标方程的弧长公式。但是在计算的时候，看准使用哪一个。有的光滑曲线是关于x,y轴对称，求解时我们只需要求某一象限的长度大小即可，总的长度为该象限的倍数。另外需要注意的是，有的题目自变量范围并不会给出，需要我们自己求定义域的范围确定，然后再利用公式进行求解。
（4）旋转曲面的面积,注意这里是曲线弧绕x轴旋转一周形成的图形的侧面积。
- 而关于平均值只需记住公式与积分中值定理联系在一起，物理运用主要是记住物理量的大小组成，以及建立正确的微元，进行积分即可。需要注意的是，一定要仔细审题，尽量方便求解的坐标系，一般分段就行求解，别弄错了，正负号和长度关系以所建的系为参考，这很十分重要。总之，这类题型，在记住基本的公式、图形、结论和学会使用微元法的基础上，需要具体问题具体分析，最后都可以化解为定积分问题，然后进行计算。
