A. 点点的圈圈

因为题中保证的特殊性质，容易发现圆之间的关系形成树形结构。

对于每棵子树，选择树的根或者累计所有子树的答案。

问题在于建图，容易发现这个可以用KDTree优化。

考虑将所有的点建在KDTree上。

用每个点的圆覆盖KDTree，当完全覆盖时直接塞入对应点的vector中。

之后DFS一遍KDTree，同时用一个set维护祖先链上所有的vector的集合。

set所表示的集合即能覆盖该点的所有的圆。

对于KDTree中每一个点，直接在set中查后继就可以找到他的父亲。

B. 点点的计算

根据大神的一番推导证明，可得原式$=lcm_{i=n-k+1}^n i$

考虑求出一个数组$b_{i,j}$，使得$\prod_{i=n-k+1}^{n} b_{n,i}=lcm_{i=n-k+1}^n i$，即每向左一步的增量。

问题在于如何通过$b_{n-1}$推出$b_n$。

直接令$b_{n}=b_{n-1}$，$b_{n,n}=n$，然后发现前面一些贡献出错了。

对于前面的$b_{n,i}$中含有$n$的一些质因子，统计重复了，所以不断乘逆元消掉。

这个玩意可以直接用一些栈来维护。

为了在线的回答询问，将这个数组通过可持久化线段树实现就好了。

容易发现取$lcm$对应着指数取$max$。

所以这个做法实际上是对这个指数最值的差分，实际上与$zkw$线段树维护区间最值的方法有异曲同工之妙。

C. 点点的最大流

最大流=最小割。

对于树上的情况，直接树剖维护最小值。

对于每个点只在一个简单环上，直接缩边双。

还是通过树剖的思想，只要维护出重链上经过这个简单环的答案放在树剖结构中。

对于其它答案，暴力通过线段树查询就好了。

然而这个做法特判太多了，有点恶心。

所以偷了大神$G$_$keng$的做法。

考虑环上的最小边一定被割，所以只要把最小边累加到其他边上。

直接在原树上割掉最短边，仍然维护树的结构。

因为要修改，所以用$lct$维护一下就好了。

数据确实有锅，哭了。