某些面试常问专业课(夏令营)

高等代数

1. 什么是正定矩阵？

正定矩阵

（1）广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有> 0，其中 表示z的转置，就称M为正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）
（2）狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有 > 0。其中表示z的转置。

对称正定矩阵

Hermite正定矩阵

判定定理

对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：
（1）A是正定矩阵；
（2）A的一切顺序主子式均为正；
（3）A的一切主子式均为正；
（4）A的特征值均为正；
（5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C；
（6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；
（7）存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R [3] 。

图论

1. 欧拉图

判定定理

• 图G是连通的,不能有孤立的点存在。
• 存在两个顶点,其入度不等于出度,其中一点出度比入度大1,为路径起点,另一点入度比出度大1,为路径的终点。