莫比乌斯函数

莫比乌斯函数

μ(n) ——默比乌斯函数，是关于非平方数的质因子数目，若n=1,μ(n) =1，若n存在有大于1的平方数因数（如4(2平方)，9（3的平方)，16（4的平方）……），则μ(n) =0，否则μ(n) 的结果取决于n根据算数基本定理分解的质因数个数的奇偶性来判断。比如n=3，5，7就只有一个质因数所以为μ(n)=-1，n=6,15,21，μ(n)就为1。

性质1：若gcd(m,n)=1，则u(mn)=u(m)*u(n) ，（即u(n)为积性函数) ，若gcd(m,n)>1,则u(mn)=0.
简单分析下：若m,n为两个互质的整数，所以m的质因数和n的质因数一定不会相重，而u(mn)的值取决于mn的质因数的个数
根据u(m),u(n)的两个质因数存在可加性（比如奇数个+奇数个=偶数个，奇数个+偶数个=偶数个，偶数个+偶数个=偶数个）。
这与 （-1）乘（-1）=1，1 乘（-1）=-1，1 乘 1=1 具有一定的映射关系，显然可知u(mn)=u(m)*u(n).
而当gcd(m,n)>1时，m,n中必然存在两个相同的因数（大于1），则u(mn)必然存在一个大于1的平方数因数，所以u(mn)=0。