台阶问题

台阶问题

分析
$第一眼看到这题的时候就直接想用Dfs模拟走路的过程，可是发现n数据范围为1e5，就计算一下复杂度。接近O（2^n）$第一眼看到这题的时候就直接想用Dfs模拟走路的过程，可是发现n数据范围为1e5，就计算一下复杂度。接近O（2n）
$无非就是tle。但是为了练习我的dfs模板，于是我就手打一遍Tle的dfs，代码如下$无非就是tle。但是为了练习我的dfs模板，于是我就手打一遍Tle的dfs，代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll cnt=0,n,k,p=100003;
void dfs(ll num){
	if(num==n) {cnt++;cnt=cnt%p;return ;}
	if(num>n) return ;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		dfs(num+i);
	}
	return;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    dfs(0);
    cout<<cnt<<endl;
    return 0;
}
///dfs的复杂度是2^n tle

$接下来，我就想用什么来优化dfs呢？dp突然出现在我的脑海里面，分析一波dp可用性，发现符合最小子问题$接下来，我就想用什么来优化dfs呢？dp突然出现在我的脑海里面，分析一波dp可用性，发现符合最小子问题
$于是，我就假设初始位置为j,目标位置为i，那么dp\left[dis\right]表示走到dis的时候所用的所有可能方式。我们接下来考虑$于是，我就假设初始位置为j,目标位置为i，那么dp[dis]表示走到dis的时候所用的所有可能方式。我们接下来考虑
$怎样从j转移到i位置呢？$怎样从j转移到i位置呢？
$从j位置走到i位置，分j=i-k,i-(k-1),i-(k-2),......,i-1这些位置走一步到达，那么我们就可以利用循环来更新dp\left[i\right]$从j位置走到i位置，分j=i−k,i−(k−1),i−(k−2),......,i−1这些位置走一步到达，那么我们就可以利用循环来更新dp[i]

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=k;j++){/判断条件需要修改，这里只是为了说明怎么走
        dp[i]=dp[i]+dp[i-j];
    }
}

$细心的你可以发现当i小与等于k的时候会出现错误。没错，就是这样，这里我们就可以在上面的判断条件中改一下$细心的你可以发现当i小与等于k的时候会出现错误。没错，就是这样，这里我们就可以在上面的判断条件中改一下
$把j\&lt;=k$把j<=k改成j<=k&&i-j>=0

AC

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+5;
int n,k,p=100003,dp[maxn];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    dp[0]=dp[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=k&&i-j>=0;j++){
        dp[i]=(dp[i]+dp[i-j])%p;
    }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
    return 0;
}

备注，ll数据处理比int数据慢很多，见下图