概率统计——为什么条件概率的结果总和直觉不同？

从前有一户夫妻，他们生了两个孩子。已知其中一个是女孩，那么另一个孩子也是女孩的概率是多少呢？

这是一道概率论课本上的经典问题，一开始的时候，很多人会觉得两个孩子的性别是独立事件，我们知道其中一个孩子的性别，应该对另一个孩子没有影响。但实际上并不是这样，我们可以列出两个孩子性别的所有可能：

从上面这个表格里，我们可以看出来，两个孩子的性别组合一共有4种。其中至少有一个女孩的是三种，而这三种当中，两个孩子都是女孩的有一种。所以答案就是。

除了表格列举出所有情况之外，我们还可以通过条件概率来计算。已知, 和，可以求出。

我们直接套用条件概率的公式：假设A事件代表两个孩子中有一个是女孩，B事件是两个孩子都为女孩。显然，我们要求的就是

根据公式：，在这题当中A事件发生，B一定发生，所以。

我们知道，两个孩子的性别是独立事件，其中有一个为女孩的概率等于1减去两个都是男孩的概率，两个都是男孩的概率等于，所以至少有一个女孩的概率等于。同理，两个都为女孩的概率是。

所以，我们套入公式，，所以另一个孩子也是女孩的概率是。

这个答案的计算过程没什么问题，我想大家应该都能看明白，但是不知道会有多少人觉得奇怪。为什么答案不是呢？难道两个孩子的性别不是独立的吗？一个孩子是女孩和另一个孩子是男是女应该没有联系呀？

在我们回答这个问题之前，我们先来看另一个问题。

还是之前题目里的夫妻，还是那两个孩子（至少有一个是女孩）。不同的是，假设有一天我们在公园碰见了这一对夫妻。不过，与此同时，夫妻还带了一个孩子。这个孩子是一个女孩，那么，请问，另一个孩子也是女孩的概率是多大？

答案是呢还是呢？

这一次答案是。等等，好像有点不太对劲。我们之前一通分析，用上各种公式进行计算，得到的结果明明是，为什么这里就变成了呢？这两道题难道不是一样的吗？

我们看到了一个女孩，求另一个也是女孩，和已知一个是女孩，求两个都是女孩，不是一回事吗？

关于这一点，我们直观上有很多种理解方式。

第一种，一开始题目中已知有一个孩子是女孩。这个约束是针对两个孩子的，当我们看到女孩的时候，两个孩子当中有一个是女孩的条件被达成了。那么对于另一个孩子而言，它就从条件概率的约束当中恢复了过来，它从条件概率又变成了自然概率，那么自然，剩下一个孩子是女孩的概率成了。

另一种理解方式是通过公式计算。已知两个孩子当中有一个是女孩。从上一题当中我们已经知道，另一个孩子也是女孩的概率是，所以另一个是男孩的概率是。

我们遇见一个女孩的概率是。

我们遇见一个女孩的条件下，两个都是女孩的概率是。

这里潜在的信息是，我们在公园遇见一个孩子，他是男是女的概率是不同的。我们遇见了女孩，会改变剩下一个孩子是女孩的概率。也就是说，遇见了女孩这个信息，提升了两个孩子都是女孩的概率，降低了另一个孩子是男孩的概率。两者一增一减，最后刚好都等于1/2。

这样理解都行得通，但还是没有解决我们之前的疑惑，为什么看起来完全一样的两件事，得到的结果不同呢？就因为我们看到了其中的一个孩子吗？可是我们看到孩子，与孩子的性别的概率应该无关才对。

会有这些疑问并不奇怪，原因也很简单，因为我们忽略了一点：我们在公园碰见了一个孩子的时候，带来了额外的信息。也就是说，两个孩子当中，碰见一个孩子是女孩，和两个孩子当中有一个是女孩，这是两件事。因为碰见了一个孩子带来了额外的信息，虽然这个孩子是女孩，貌似和我们条件概率里的条件一样。

也就是说这里概率发生变化的重点不是因为我们看了孩子一眼，而是因为这一眼带来的额外信息。我们总觉得观察本身并不会带来实验结果的变化。我抛一枚硬币它是正是反，当然和我是否看它无关。但问题是，在一些实验当中，观察这个行为会带来额外的隐藏信息。这些隐藏信息会改变概率的分布。在物理学当中，这种情况更加普遍。

在这个问题当中，这个隐藏信息是我们对孩子的区分。我们看孩子之前，两个孩子是一体的，我们看了一眼之后，这两个孩子就区分开来了。我们看之前，这是两个孩子，看了之后，就成了我们看过的孩子和没看过的孩子。从物理学上来看，这两者的熵是不同的。

如果你还在纠结”观察“这个动作，我们不妨假设另一种情况：假设这对夫妻并没有带孩子来公园，我们没有见到孩子。我们和夫妻攀谈，他们告诉我们，年长的孩子是女孩。请问剩下一个是女孩的概率是多少？1/2。如果他说喜欢吃糖的是女孩，剩下一个孩子是女孩的概率是多少？1/2。

不论这对夫妻怎么表述，只要他告诉我们一个信息，一个能够将这两个孩子区分开的信息，那么，另一个孩子是男是女都会从条件概率的束缚下脱离出来，恢复自然概率。

我们忽略了这个信息来看问题，就会觉得概率时大时小，变幻莫测。这也是很多人觉得概率论非常神奇违反直觉的原因。

这个时候我们需要冷静，先从疑问当中抽身，仔细审视一下自己的推理的过程。很多时候，疑惑当中都是因为有一些潜在的因素被我们忽略了。只要我们梳理清楚所有的变量和信息，那么疑团也就迎刃而解。

我在思考这些概率问题的时候，总会想起明朝心学大家王阳明的一段话。他说：你未看此花时，此花与汝心同归于寂。你来看此花时，则此花颜色一时明白起来。

大家结合上文的问题，再来思索这段话，是否有体会到几分真意呢？

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