题解|《信息学奥赛一本通》 序列的第 k 个数

题目描述
BSNY在学等差数列和等比数列，当已知前三项时，就可以知道是等差数列还是等比数列。现在给你序列的前三项，这个序列要么是等差序列，要么是等比序列，你能求出第k项的值吗。如果第k项的值太大，对200907取模。

输入描述:
第一行一个整数T，表示有T组测试数据；
对于每组测试数据，输入前三项a,b,c，然后输入k。

输出描述:
对于每组数据输出第k项的值，对200907取模。

思路：
一看题目就知道使用快速幂了，不多解释了。

什么是快速幂与时间复杂度分析：
快速幂是一种简化运算底数的n次幂的算法，理论上其时间复杂度为 O(log₂N)，而一般的朴素算法则需要O(N)的时间复杂度。简单来说快速幂其实就是抽取了指数中的2的n次幂，将其转换为时间复杂度为O(1)的二进制移位运算，所以相应地，时间复杂度降低为O(log₂N)。

代码原理：
以a^13为例，
先把指数13化为二进制就是1101，把二进制数字1101直观地表现为十进制则是如下的等式：
13 = 1 * (2^3) + 1 * (2^2) + 0 * (2^ 1) + 1 * (2^0)
这样一来a^13可以如下算出：
a^13 = a ^ (2^3) * a ^ (2^2) * a ^ (2^0)

完整C++版AC代码：

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll mod = 200907;

ll ksm(ll a,ll b,ll p) {
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ans = ans * a % p;
        }
        b = b >> 1;
        a = a * a % p;
    }
    return ans;
}

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        ll a, b, c;
        int k;
        cin >> a >> b >> c >> k;
        if (b - a == c - b) {//等差序列
            int r = b - a;
            cout << (a % mod + (c - b) * (k - 1) % mod) % mod << endl;
        }
        else {
            cout << (a % mod * ksm(c / b, k - 1, mod)) % mod << endl;
        }
    }
    return 0;
}