题解 | #股票(无限次交易)#
股票交易的最大收益(二)
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题意:
- 给定一个数组代表股票每天价格,最多只能进行两次交易(一次买进和一次卖出记为一次交易。买进和卖出均无手续费),求最多可以赚多少钱。
方法一:
解题思路:
- 参考题目NC134的解法,利用几个状态变量来记录遍历数组时的状态,动态求得股票的最大收益。
- 定义四个状态变量,分别是firstBuy,firstSell,secondBuy,secondSell.
(1) firstBuy---第一次买入股票后的最大收益
(2) firstSell---第一次卖出股票后的最大收益
(3) secondBuy---第二次买入股票后的最大收益
(4) secondSell---第二次卖出股票后的最大收益 - 对于上述四个状态变量,有如下状态转移的图。
- 根据上面的图我们可以写出转移方程:
firstBuy=max(firstBuy,-prices[i]); firstSell=max(firstSell,firstBuy+prices[i]); secondBuy=max(secondBuy,firstSell-prices[i]); secondSell=max(secondSell,secondBuy+prices[i]);
- 遍历数组prices,随prices[i]的变动更新四个遍历的值,转移方程也较好理解:最大收益要么是之前的状态值,要么是其他状态变化到该状态的更新值。例如secondBuy=max(secondBuy,firstSell-prices[i]); 它的值更新源于第一次股票卖出后的最大收益减去当前股票价格,如果该值高于之前的secondBuy值,就更新。
代码如下:
class Solution { public: /** * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定,请勿修改,直接返回方法规定的值即可 * 两次交易所能获得的最大收益 * @param prices int整型vector 股票每一天的价格 * @return int整型 */ int maxProfit(vector<int>& prices) { // write code here //定义四个状态变量 int firstBuy=-prices[0],firstSell=0; int secondBuy=-prices[0],secondSell=0; //遍历prices数组,并更新状态变量的值 for(int i=1;i<prices.size();i++){ firstBuy=max(firstBuy,-prices[i]);//第一次买入 firstSell=max(firstSell,firstBuy+prices[i]);//第一次卖出 secondBuy=max(secondBuy,firstSell-prices[i]);//第二次买入 secondSell=max(secondSell,secondBuy+prices[i]);//第二次卖出 } //返回最大收益值 return secondSell; } };
- 在代码中最后返回的值是secondSell,准确来说应该是返回0,firstSell,secondSell中的最大值。但是从上述式子中我们不难推出secondSell>=firstSell>=0的关系,因此直接返回secondSell即可。
复杂度分析:
时间复杂度:,遍历数组prices。
空间复杂度:,常数个临时变量。
方法二:动态规划
解题思路:
- 针对上述方法一,可以用一种更易于理解的动态规划方法。使用数组dp来记住每天的状态,dp[i]的相关信息依赖于前一天的信息dp[i-1]。空间复杂度更高,为O(n)。
代码如下:
class Solution { public: /** * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定,请勿修改,直接返回方法规定的值即可 * 两次交易所能获得的最大收益 * @param prices int整型vector 股票每一天的价格 * @return int整型 */ int maxProfit(vector<int>& prices) { // write code here //定义四个状态变量数组 vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(4, 0)); dp[0][0] = -prices[0]; dp[0][2] = -prices[0]; for (int i = 1; i < prices.size(); i++) { dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);//第一次买入股票后的最大收益 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);//第一次卖出股票后的最大收益 dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] - prices[i]);//第二次买入股票后的最大收益 dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] + prices[i]);//第二次卖出股票后的最大收益 } return dp[prices.size() - 1][3]; } };
复杂度分析:
时间复杂度:,遍历数组一次。
空间复杂度:,额外的数组元素存储空间。