第3章 第7节 其他重要算法

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● 问题:HMM隐马尔可夫模型的参数估计方法是?

参考回答:

EM算法

解析:期望最大化(Expectation-Maximum,EM)算法

● 问题:Bootstrap方法是什么?

参考回答:

从一个数据集中有放回的抽取N次,每次抽M个。

解析:Bagging算法基于bootstrap。面试时结合Bagging算法讲述会更好。

● 问题:如何防止过拟合?

参考回答:

1.早停法;2.l1和l2正则化;3.神经网络的dropout;4.决策树剪枝;5.SVM的松弛变量;6.集成学习

解析:能够达到模型权重减小,模型简单的效果

● EM算法推导,jensen不等式确定的下界

参考回答:

给定的训练样本是,样例间独立,我们想找到每个样例隐含的类别z,能使得p(x,z)最大。p(x,z)的最大似然估计如下:

第一步是对极大似然取对数,第二步是对每个样例的每个可能类别z求联合分布概率和。但是直接求一般比较困难,因为有隐藏变量z存在,但是一般确定了z后,求解就容易了。

EM是一种解决存在隐含变量优化问题的有效方法。竟然不能直接最大化,我们可以不断地建立的下界(E步),然后优化下界(M步)。这句话比较抽象,看下面的。

对于每一个样例i,让表示该样例隐含变量z的某种分布,满足的条件是。(如果z是连续性的,那么是概率密度函数,需要将求和符号换做积分符号)。比如要将班上学生聚类,假设隐藏变量z是身高,那么就是连续的高斯分布。如果按照隐藏变量是男女,那么就是伯努利分布了。

可以由前面阐述的内容得到下面的公式:

(1)到(2)比较直接,就是分子分母同乘以一个相等的函数。(2)到(3)利用了Jensen不等式,考虑到是凹函数(二阶导数小于0),而且

就是的期望(回想期望公式中的Lazy Statistician规则)

设Y是随机变量X的函数(g是连续函数),那么

(1) X是离散型随机变量,它的分布律为,k=1,2,…。若绝对收敛,则有

(2) X是连续型随机变量,它的概率密度为,若绝对收敛,则有

对应于上述问题,Y是,X是,g是的映射。这样解释了式子(2)中的期望,再根据凹函数时的Jensen不等式:

可以得到(3)。

这个过程可以看作是对求了下界。对于的选择,有多种可能,那种更好的?假设已经给定,那么的值就决定于了。我们可以通过调整这两个概率使下界不断上升,以逼近的真实值,那么什么时候算是调整好了呢?当不等式变成等式时,说明我们调整后的概率能够等价于了。按照这个思路,我们要找到等式成立的条件。根据Jensen不等式,要想让等式成立,需要让随机变量变成常数值,这里得到:

c为常数,不依赖于。对此式子做进一步推导,我们知道,那么也就有,(多个等式分子分母相加不变,这个认为每个样例的两个概率比值都是c),那么有下式:

至此,我们推出了在固定其他参数后,的计算公式就是后验概率,解决了如何选择的问题。这一步就是E步,建立的下界。接下来的M步,就是在给定后,调整,去极大化的下界(在固定后,下界还可以调整的更大)。那么一般的EM算法的步骤如下:

循环重复直到收敛{

(E步)对于每一个i,计算

(M步)计算

那么究竟怎么确保EM收敛?假定是EM第t次和t+1次迭代后的结果。如果我们证明了,也就是说极大似然估计单调增加,那么最终我们会到达最大似然估计的最大值。下面来证明,选定后,我们得到E步

这一步保证了在给定时,Jensen不等式中的等式成立,也就是

然后进行M步,固定,并将视作变量,对上面的求导后,得到,这样经过一些推导会有以下式子成立:

解释第(4)步,得到时,只是最大化,也就是的下界,而没有使等式成立,等式成立只有是在固定,并按E步得到时才能成立。

况且根据我们前面得到的下式,对于所有的都成立

第(5)步利用了M步的定义,M步就是将调整到,使得下界最大化。因此(5)成立,(6)是之前的等式结果。这样就证明了会单调增加。一种收敛方法是不再变化,还有一种就是变化幅度很小。

再次解释一下(4)、(5)、(6)。首先(4)对所有的参数都满足,而其等式成立条件只是在固定,并调整好Q时成立,而第(4)步只是固定Q,调整,不能保证等式一定成立。(4)到(5)就是M步的定义,(5)到(6)是前面E步所保证等式成立条件。也就是说E步会将下界拉到与一个特定值(这里)一样的高度,而此时发现下界仍然可以上升,因此经过M步后,下界又被拉升,但达不到与另外一个特定值一样的高度,之后E步又将下界拉到与这个特定值一样的高度,重复下去,直到最大值。

如果我们定义

从前面的推导中我们知,EM可以看作是J的坐标上升法,E步固定,优化,M步固定优化

Jensen不等式表述如下:

如果f是凸函数,X是随机变量,那么:,特别地,如果f是严格凸函数,当且
仅当X是常量时,上式取等号。所以其下界是