第7章 第1节 数量关系

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● 请解决一个逻辑问题,25匹马比赛赛跑,每次最多可以让5匹马同时比赛,至少需要几轮比赛才能得出前三名?请你说说比赛过程。

参考回答:

● 一位卖酒的老大爷有两个各装满了20斤白酒的酒桶。一天,来了两个顾客,分别带着一个可以装5斤酒的瓶子和一个可以装4斤酒的瓶子。只用这四个容器,请问你如何给他们的瓶子里各倒2斤酒?

参考回答:

假设所有桶都已经消毒完毕,不存在交叉污染,每次倒转桶内残留忽略不计。 20斤桶先将5斤桶倒满(20斤桶剩余15斤),然后5斤桶将4斤桶倒满(5斤桶剩余1斤),然后将4斤桶全部倒回20斤桶(20斤桶剩余19斤),再将5斤桶里的1斤倒至4斤桶中,然后用20斤桶将5斤桶再倒满(20斤桶剩余14斤),再用5斤桶将4斤桶装满(5斤桶剩余2斤),至此5斤桶结束;然后将4斤桶全部倒回至20斤桶中(20斤桶剩余18斤),然后用另一个20斤桶将4斤桶装满(20斤桶剩余16斤),再用4斤桶将剩有18斤的20斤桶装满(4斤桶剩余2斤),至此4斤桶也结束。

● 现在有一堆电子元件,其中有的完好、有的损坏,且好的数量比坏的多。这些元件具有这样的特性: 第一、可以拿一个元件去测试另外一个是否完好,测试者能告诉我们被测者是好、是坏。 第二、如果测试者本身是完好的,上面的测试结果就是准确的。 第三、如果测试者本身是损坏的,那测试结果就没有参考意义。请问你要如何才能把好元件全部挑选出来?

参考回答:

首先用至少20个测试者去测被测者,并记录下每个测试者对应测出的结果,如果显示被测者结果都一样,则说明所有测试者都完好;若显示为结果A的数量大于显示为结果B的数量,则说明被测者为测试结果A(已知好的元件多于坏的元件,则说明,结果概率越大的为好元件的测试结果)。此时,测试结果显示B的一定是坏元件,再把筛选出的“好”元件重复上述操作。直至筛选出真正确定的好元件。

然后以此好元件为测试者,去测试所有元件,即可筛选出所有好元件。

● 假设有5个囚犯,他们分别按1到5号的顺序,在装有100颗绿豆的麻袋前抓绿豆,规定每人至少抓一颗,而抓得最多和最少的人将被处死,而且,他们之间不能交流,但在抓的时候,可以摸出剩下的豆子数。请问,最后一个囚犯死亡的几率是多少?? 需要注意一下几点: 第一、他们都是很聪明的人; 第二、他们的原则是先求保命,再去多杀人; 第三、100颗不必都分完; 第四若有重复的情况,则也算最大或最小,一并处死。

参考回答:

如果第一个人拿21个豆子,那么第二到四人分别拿20 20 20,第五个人最多只能拿19个,第1、5个人死。
所以第一个人不会拿超过20个豆子。同样,第二到四人中没有人会拿超过20个豆子,因为这样做等于自杀。当然,第五人也就不会拿超过20个豆子。
那么拿20颗豆子的人就一定会死了。因为20颗豆子是可能的最大的豆子数了。所以,没有人会拿20颗豆子。依次往下推……
再从拿1颗豆子算起,拿1颗豆子的人一定会死,因为至少拿一颗,没有更小的数了。那么没有人会拿1颗豆子。同理推得:没有人会拿2颗豆子。依次往上推……
综上,既不可能避免成为最大的数,也不可能避免成为最小的数,所以5个人都一定会死!生存的几率一样大,都为零!

换一种思考方法:假设前3个人拿的分别是x-1、x、x+1(0<X<20)颗豆子,那么第4和5个人一定拿X颗豆子,那么第三个人就死了,所以第三个人不会在面临总豆子数剩下101-2x颗的时候去选择x+1或x-2颗豆子,第三个人一定会选择x或x-1颗豆子,同样道理第四个人也会选择x或x-1颗豆子,于是第五个人不管怎么选,都会死。在该假设情况下,所有人都会死。
假设前3个人分别是x、x、x,则5个人都一定会死。推理过程和上面异曲同工。
假设前3个人分别是x、x、x-1(或x+1),则5个人一样都会死。推理过程和上面异曲同工。
综上,5个人都一定会死!生存的几率一样大,都为零!

● 现在有一张正方形的桌子,桌面可以旋转。桌子的四角各放置一个玻璃杯。 你的眼睛被蒙住了。有人随意转动桌子,当桌子停下后,你可以伸出双手同时选取两个杯子,摸清它们是正立的还是倒扣的,然后可以任意反转它们。你操作结束后,桌子又会被转动,停下后你又可以选取、操作,如此反复循环。 如果当4个杯子的状态一致,指它们全部正立或全部倒扣时,旁边的铃就会响。 现在请你设计一个方案,用有限的、并且尽可能少的循环次数,让杯子的状态一致。 并且如果按照这个方案,将最少多少次循环可以保证成功?"

参考回答:

● 现在有3顶黑帽子,2顶白帽子。A,B,C三人分别在关灯时随机拿起一顶帽子戴上。开灯之后,A看完B和C帽子,说不知道自己戴的是什么帽子。B看完A和C的帽子,也说不知道自己戴的是什么帽子。C本来听完A说的话,也不知道自己戴的什么帽子,但是听完B的话后,知道了自己戴的是什么帽子。A,B,C三人均不会说谎,请问三人分别戴的什么帽子?

参考回答:

A是白色,B是黑色,C是黑色。

● "在程序设计竞赛中,A、B、C三支队伍闯入决赛,赛制规则如下: 第一、决赛中有Q1、Q2……Qn共n道题,每隔一段时间公布一道题; 第二、每道题目参赛队伍均同时获知,最先解答出的队伍积X分,第二个答出的队伍积Y分,最后一名队伍积Z分,X、Y、Z均为正整数,且X大于Y大于Z。 第三、每支队伍的最终积分由每道题目的得分相加而成。 最终A队获得22分摘得冠军,B和C队均得9分并列亚军,且B队在题目Q1中取得第一。已知A、B、C队伍均答出了全部题目,且每道题目的名次都没有并列。请你计算N等于多少,题目Q4的第二名是哪支队。"

参考回答:

N=5;
Q4第二名为C。

● "小张、小王、小李三个好朋友租车去上海迪士尼游玩,结束后在停车场取车时发现都没有记住完整的车牌号。此时停车场共有16辆车,前两位分别是沪A、沪E、沪N,苏B、苏E、苏N、苏G、苏F、苏Q,浙A、浙E、浙C、浙D、浙J,皖A、皖C。小张记住了第一个汉字,小王记住了第一个字母,他们决定考考小李。于是,小李听到如下对话: 小王说:我不知道是哪辆车。 小张说:我知道你不知道是哪辆车。小王又说:现在我知道是哪辆车了。 小张又说:我也知道了。 听罢以上的对话,小李想了一想之后,就正确地推算出了是哪辆车。这辆车的前两位是什么"

参考回答:

沪:A、E、N
苏:B、E、N、G、F、Q
浙:A、E、C、D、J
皖:A、C

1. 小王记住了第一个字母并且小王说:我不知道是哪辆车。
说明是重复的字母,即A E N C 之一
2. 小张记住了第一个汉字 并且 小张说:我知道你不知道是哪辆车。
注意,这句话是为了帮小李锁定汉字,但在情境里面其实有些漏洞,需要强行认同一波才能继续下去。小张确定小王不知道是哪辆车并不是因为听了小王说不知道是哪辆车,而是因为拥有唯一字母(B G F Q J)的只有苏和浙,小张知道他们的车并不是苏浙的,因此无论小王看到的字母是什么,都一定会有其他重复的,所以这句话能够将汉字锁定在沪和皖。
3. 小王又说:现在我知道是哪辆车了。
因为小王知道字母,而小张的话锁定了汉字,因此能够立刻做出判断的只有唯一不重复的皖C。

这题更好的版本应该是:
小张先说:我知道你不知道是哪辆车。
因为小张知道汉字,并且他知道小王一定会遇到重复项(因为皖字下面的A和C都有其他重复项),他只有先说这句才有排除苏浙的意义。
然后小王再说:我本来不知道是哪辆,但现在我知道了。
本来不知道是佐证了重复项,但现在知道了是因为小张给他锁定了沪皖,而他知道字母,所以能做出唯一判断。

● 有600 个人站一排,每次随机杀掉一个奇数位的人,你认为几号最安全。

参考回答:

存活回数期望最大的是2,但最可能成为最后一个存活的人是600。M = 600 是个偶数,当杀奇数人的时候,最后一轮排在最后一个位置的人不会被杀,而杀偶数人时,最后这一轮排在最后一个位置的人可能被杀,而就是这一点点差别导致了差异;杀奇数人时,最后一段很容易成为最后一个人,所以存活概率变大了,在杀 599 人的时候,甚至这是唯一的存活可能性;杀偶数人时,反而是成为倒数第二个人比较划算,所以最后一小段反而概率下降了。

● 一共有九块蛋糕,但要装在四个盒子里,而且每个盒子里至少要装三块蛋糕,请问你要怎么做?

参考回答:

前三个盒子每个盒子装3块蛋糕,第四个盒子把已经装好蛋糕的前三个盒子装进去。

● 你和小明玩一个游戏,总共有100个球,谁拿到第100个谁就赢。两个人分别拿取,至少拿1个,最多拿5个。规定你先拿,那么你第一次拿几个,之后怎么拿,才能保证你能拿到第100个。

参考回答:

100/(1+5)=16......4
先拿4个
然后拿(6-小明拿的个数)。

● 假设有一个池塘,里面有无穷多的水。现在有2个空水壶,容积分别为5升和6升,如果对一个水壶而言,每次加水或倒水都算一次操作步骤,那么最少多少步才可以获得3升水。

参考回答:

8

● "有以下打车软件,他们的情况如下 第一个、易到,售价每公里2元、每分钟0.4元、可优惠百分之五十; 第二个、滴滴,售价每公里1.3元、每分钟0.3元、最高优惠10元; 第三个、Uber,售价每公里1.7元、每分钟0.35元、可优惠15元左右; 假设公里数为a、时间为b,市区里时速一般在30km左右;请你想一想在多少公里以内分别可以选择用Uber、滴滴、易到。"

参考回答:

● "一个岛上有100个人,其中有15个绿眼睛,85个紫眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。 第一、他们不能照镜子,不能看自己眼睛的颜色。 第二、他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。 第三、一旦有人知道了自己是绿眼睛,他就必须在当天夜里自杀。 某天,有个旅行者到了这个岛上。由于不知道这里的规矩,所以他在和全岛人一起狂欢的时候,不留神就说了一句话:”你们这里有绿眼睛的人。”假设这个岛上的人足够聪明,每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问这个岛上将会发生什么?"

参考回答:

● 一瓶可乐两元钱,喝完后两个空瓶可以换一瓶可乐,假设你有40块,请问你最多可以喝到几瓶汽水? 

参考回答:

40

● "ABCD四个人里有2个人只说真话,有2个人只说假话,其中A说他是说真话的,B说他是说真话的,C说B说的是真的,D说C说的是假话,请问ABCD四个人说话分别是真是假?"

参考回答:

真 假 假 真

● 一艘游轮从码头A出发后先逆流航行了1分钟;掉头顺流航行2分钟;再掉头逆流航行3分钟……以此类推。已知游轮顺流每分钟航行30米,逆流每分钟航行10米。问10分钟后游轮的位置和20分钟后油轮的位置相距多少米?

参考回答:

100

● 在一个重男轻女的国家里,每家每户都想生男孩。若一户人家生了一个女孩,便会再生一个,直到生下的是男孩为止。请问这个国家的男女比例是多少?

参考回答:

每个孩子出生男女概率是50%,所以每次出生的男女比例是相同的。
假设这个国家有n对夫妇,那么n对夫妇将生下n个男孩,这n个男孩是这样生下的,假设生男生女的概率是50%,那么n/2个男孩是第一胎生下的,同时将有 n/2个女孩生下,n/2对生女孩的夫妇将继续生,其中n/4的夫妇生下男孩,n/4的夫妇继续生下女孩,然后是n/8的夫妇顺利得到男孩,又有n/8的 夫妇生下女孩,依此类推,这个国家将生下n/2 + n/4 + n/8 + ...的女孩,所以男女比例是n : (n/2 + n/4 + n/8 + ...) = n : n = 1 : 1

● 有一个奇怪的村子,一共有100个人,有男有女,男人说真话而女人说假话。一天一个陌生人来到这个村子,问村民:"你们村子一共有几个女人啊?"第一个村民说1个,第二个村民说2个。。。以此类推,第一百个村名说100个,那么这个村子到底有多少个女人呢?

参考回答:

假设第一个村民说1个是对的、那么2、3、4...100号村民都是错的、村子里的男人个数=100-1=99、100个村民里99个男的说真话,那么就和第一个村民说的完全相反,所以第一个村民是女的。
假设最后一个村民说100个是对的、那么1、2、3...99号村民都是错的、村子里的男人个数=100-100=0、100个村民里100个女人说假话,那么就和第一百个村民说的完全相反,所以第一百个村民是女的。
以此类推,假设第99个村民说99个是对的、那么1、2、3...98、100号村民都是错的、村子里的男人个数=100-99=1,100个村民里99个说假话,因为第99个村民是对的,所以1、2、3...98、100号村民(除了第99个村民以外)都是女的,村子里一共有99个女人。

● 假设一种情况,如果你缩小到只有一枚五分硬币那么高,你的质量也成比例缩小以保持原有密度不变。随后你被仍到一个空的玻璃搅拌器里,搅拌刀片将在60分钟后开始运转,你该怎么办?

参考回答:

正常人前后身体宽宽度大概20厘米,被等比缩放大概100倍后小人的前后身体宽度差不多是2毫米。
但是搅拌器的刀片肯定都是和玻璃壁有一定距离的,并且距离肯定大于2毫米。
而且这个搅拌器是空的,说明也不会有其它物体对你造成潜在的伤害。
所以不用担心,只要靠在玻璃壁上面就可以了。

● 你看一下这个题,一栋大厦的一座电梯突然超载了。电梯里有8个人,请问让谁出去? A、 胖纸 B、 瘦子 C、 抱着小孩的肥女妇 D、 带着宠物的人 E、 赶时间的青年 F、 维修电梯的人 G、 强壮的青年 H、 大厦老板 请问应该让谁出去?

参考回答:

题目一直在引导读者说电梯超载了,但正常的电梯不可能装六个人就超载,而电梯里又有电梯维修工人在,所以必然是电梯坏了,因此所有人都必须出去,留下电梯工人进行维修。

● 一个轮盘,25%的概率是再转一次,25%的概率是赢1块钱,50%的概率是不赢钱,转一次轮盘可以赢多少钱,请讲讲解题思路

参考回答:

答案是1/3
假设转一次轮盘可以赢X元
则:X=0.25X+0.25*1+0.5*0
则:0.75X=0.25
则:X=1/3

● A和B赌100块钱,用抛硬币定胜负,7局4胜制,目前已经进行5局没有人胜出,但赌局由于特殊原因被迫中断,钱该怎么分?请说明分析过程。

参考回答:

因为现在没有人胜出,所以要么是A胜3局要么是B胜3局。

如果现在是A胜了3局:
由当前仅有的5局胜负情况并不能判断AB的赌技水平高低,因此,不妨假设他们水平相当,即在每一局中他们各自的胜率均为0.5。如果赌博继续下去,那么B能赢得赌局当且仅当接下来的两局都是B胜,概率p=0.5×0.5=0.25。同理,A在接下来的两局中只需赢一局即可赢得赌局,概率为2×0.5×0.5+0.5×0.5=0.75。因此,赌资应该按照AB最终获胜的概率进行分配,即3:1分配。

同理,如果现在是B胜了3局,则1:3分配

● 你来看一下这道题,一个BOSS掉5件装备,每件掉率0.2,每次只能掉一件装备,且5件互为掉落互斥,凑齐一套需要击杀BOSS的期望次数,回答一下计算过程。

参考回答:

● A、B两人分别在两座岛上。B生病了,A有B所需要的药。C有一艘小船和一个可以上锁的箱子。C愿意 在A和B之间运东西,但东西只能放在箱子里。只要箱子没被上锁,C都会偷走箱子里的东西,不管箱子里有 什么。如果A和B各自有一把锁和只能开自己那把锁的钥匙,A应该如何把东西安全递交给B?

参考回答:

● 你回答一下这个题,600 个人站一排,每次随机杀掉一个奇数位的人,你认为几号最安全(成为最后一个被杀死的概率最大)?

参考回答: