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问答题 35 /50

写一个程序, 要求功能:求出用1,2,5这三个数不同个数组合的和为100的组合个数。 如:100个1是一个组合,5个1加19个5是一个组合。请用C++语言写。

参考答案

A.答案:最容易想到的算法是:

设x是1的个数,y是2的个数,z是5的个数,number是组合数

注意到0<=x<=100,0<=y<=50,0<=z=20,所以可以编程为:

 number=0;
for (x=0; x<=100;x++)
    for (y=0; y<=50;y++)
        for (z=0; z<=20;z++)
            if ((x+2*y+5*z)==100)
                number++;
cout<<number<<endl;

上面这个程序一共要循环100*50*20次,效率实在是太低了

B.事实上,这个题目是一道明显的数学问题,而不是单纯的编程问题。我的解法如下:

因为x+2y+5z=100

所以x+2y=100-5z,且z<=20 x<=100 y<=50

所以(x+2y)<=100,且(x+5z)是偶数

对z作循环,求x的可能值如下:

z=0, x=100, 98, 96, ... 0

z=1, x=95, 93, ..., 1

z=2, x=90, 88, ..., 0

z=3, x=85, 83, ..., 1

z=4, x=80, 78, ..., 0

......

z=19, x=5, 3, 1

z=20, x=0

 因此,组合总数为100以内的偶数+95以内的奇数+90以内的偶数+...+5以内的奇数+1,

即为:

(51+48)+(46+43)+(41+38)+(36+33)+(31+28)+(26+23)+(21+18)+(16+13)+(11+8)+(6+3)+1

某个偶数m以内的偶数个数(包括0)可以表示为m/2+1=(m+2)/2

某个奇数m以内的奇数个数也可以表示为(m+2)/2

 所以,求总的组合次数可以编程为:

number=0;
for (int m=0;m<=100;m+=5)
{
    number+=(m+2)/2;
}
count << number << endl;


这个程序,只需要循环21次, 两个变量,就可以得到答案,比上面的那个程序高效了许多

倍----只是因为作了一些简单的数学分析。