设μ*= min
假定在不失一般性的情况下，每个结点v∈V都可以从源结点s到达。设
(s, v)为从源结点s到结点v的最短路径权重，设k(s,v)为从源结点s到结点v的恰好包含k条边的最短路径权重。如果不存在恰好k条边的从s到v的路径，则k(s, v)=∞。
a.证明:如果μ°=0，则图G包含非负权重的环路，并且对于所有的结点v∈V,
b.证明:如果μ* =0，则对于所有的结点v∈V ,
(提示:使用(a)部分的两个属性。)
c.设c为一个权重为0的环路，并设u和v为c.上的任意两个结点。假定μ*=0并且环路上从结点u到结点v的简单路径的权重为x。证明:(s, v)=(s，u)+x。(提示:环路上从结点v到结点u的简单路径的权重为-x。)
b.证明:如果μ* =0，则对于所有的结点v∈V ,
(提示:使用(a)部分的两个属性。)
c.设c为一个权重为0的环路，并设u和v为c.上的任意两个结点。假定μ*=0并且环路上从结点u到结点v的简单路径的权重为x。证明:
d.证明:如果μ"=0，则在每个最小平均权重环路上都存在-一个结点v,满足
(提示:说明如何将--条最短路径扩展到最小平均权重环路上的任意结点，以找出到环路上下一个结点的最短路径。)
e.证明:如果μ*=0，则在每个最小平均权重环路上都存在一个结点v,满足
f.证明:如果给图G的每条边的权重加一个常数t,则μ*也增加t。使用该事实来证明:
g.给出一个时间复杂度为O(VE)的算法来计算μ*。
(提示:说明如何将--条最短路径扩展到最小平均权重环路上的任意结点，以找出到环路上下一个结点的最短路径。)
e.证明:如果μ*=0，则在每个最小平均权重环路上都存在一个结点v,满足
f.证明:如果给图G的每条边的权重加一个常数t,则μ*也增加t。使用该事实来证明:
g.给出一个时间复杂度为O(VE)的算法来计算μ*。
