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设 A∈R^{m×n} 满列秩，最小二乘投影矩阵 P = A

[单选题]

设 A∈R^{m×n} 满列秩，最小二乘投影矩阵 P = A(A^T

对任意 b，投影 Pb 与 b 的夹角不超过 45°

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选项 A：投影矩阵 P=A(ATA)−1ATP=A(ATA)−1AT 满足 PT=PPT=P 且 P2=PP2=P，因此是对称且幂等的矩阵。✅
选项 B：PP 是 m×mm×m 矩阵，但当 m>nm>n 时，rank⁡(P)=n<mrank(P)=n<m，故 PP 不可逆。仅当 m=nm=n 时 PP 可逆。❌
选项 C：取 bb 与 AA 的列空间正交，则 Pb=0Pb=0，夹角为 90∘>45∘90∘>45∘，因此并非对任意 bb 成立。❌
选项 D：PP 是正交投影矩阵，特征值只能是 0 或 1。当 m>nm>n 时，存在特征值 0，不满足严格大于 0.5。❌