从10个红色球、20个黄色球、30个蓝色球中，每次随机取出一_滴滴笔试题

周昆

分3种情况：

1）红球为最后一个球：p=1/6

2）黄球为最后一个球：p=1/3

3）蓝球为最后一个球：p=1/2。

考虑情况1）。红球不可能最先取完，条件概率0

考虑情况2）。排除黄球，只考虑了红球，蓝球，那么蓝球最后一个球的条件概率为3/4

情况3类似2.

P = 1/6 * 0 + 1/3 * 3/4 + 1/2 * 2/3 = 7/12

发表于 2017-04-22 17:59:23 回复(0)

ljbq

我做的方法是，将问题简化为1个红球，2个黄球，3个蓝球，然后排列组合可以得出答案A，7/12。但是两个问题为何等价，还不清楚如何证明。等大牛详解。

发表于 2016-12-30 15:24:10 回复(2)

宋化志

诚如周昆所说的那样，我们应该将问题转化为最后一个被抽到的球概率问题：

1）红球为最后一个球：p=1/6

2）黄球为最后一个球：p=1/3

3）蓝球为最后一个球：p=1/2。

如果最后一个球为红球，那么红球最先被抽走的概率就是零，

如果最后一个球为黄球，那么倒数第二个被抽到是篮球的概率为3/4，那么红球最先被抽走的概率就是1/3*3/4。

如果最后一个球为篮球，那么倒数第二个被抽到是黄球的概率为2/3，那么红球最先被抽走的概率就是1/2*2/3.

综上所述，红球最先被抽走的概率为：P = 1/6 * 0 + 1/3 * 3/4 + 1/2 * 2/3 = 7/12。

感谢周昆给我的启发。

发表于 2017-08-28 11:39:22 回复(0)

bomb_peng

可以这么想：把10个红球看成一份（红1），把20个黄球分成等量的两份（黄1,2），把30个篮球分成等量的三份（蓝1,2,3）。这样就有6份球，每份10个。这六份球的地位是等价的。然后各份球抽完的事件分别命名为 A，B1，B2，C1，C2, C3。这六个事件在出现的先后次序上也是完全等价的。接下来就是求A在{B1，B2}和{C1，C2，C3}之前出现的概率。就如@ljbq 所言排列组合即可：A可能出现的次序是1,2,3,4这四种情况，分别求即可。

发表于 2017-04-21 00:42:34 回复(1)

柠檬lemon

可以反过来看，在拿到第一个红球前，必须已经有至少一个蓝球和一个绿球。

第一个是蓝球的概率是1/3, 接下来是不是蓝球对结果没有影响，所以，接下来从红球和绿球中选择绿球的概率是3/4

第一个是绿球概率1/2, 接下来从红球和蓝球中选择蓝球的概率是2/3

1/3 * 3/4 + 1/2 * 2/3 = 7/12

发表于 2017-08-26 09:29:00 回复(0)

牛客75588759号

在正面求解受阻的情况下，本题也可以使用排除法进行解答。

1 由于概率的值在区间[0,1]内，因此先排除D选项42433。

2 接下来先求出以下事件的概率：

2.1 最后一个球为红球：

$P(R)=\frac{\frac{A_{59}^{59}}{A_{9}^{9}A_{20}^{20}A_{30}^{30}}}{\frac{A_{60}^{60}}{A_{10}^{10}A_{20}^{20}A_{30}^{30}}}=\frac{1}{6}$

2.2 关于最后两个球的概率

2.2.1 最后两个球均为黄球：

$P(YY)=\frac{\frac{A_{58}^{58}}{A_{10}^{10}A_{18}^{18}A_{30}^{30}}}{\frac{A_{60}^{60}}{A_{10}^{10}A_{20}^{20}A_{30}^{30}}}=\frac{20×19}{60×59}$

2.2.2 同理，最后两个球均为蓝球：P(BB)=(30×29)/(60×59)

2.2.3 同理，最后两个球为一黄一蓝：P(YB)=(30×20)/(60×59)

3 分析概率范围

3.1 若最后一个球为红球，则红球不是最先被取完；而“红球不是最先被取完”的情况包含了“最后一个球为红球”的情况。因此，P(红球最先被取完)<1-P(R)=5/6。

3.2 若最后两球不为红球，则红球可能最先被取完；而“红球最先被取完”的情况包含了“最后两球不为红球”。因此，P(红球最先被取完)>P(YY)+P(BB)+P(YB)=185/354≈0.52。

3.3 因此，0.52<P(红球最先被取完)<5/6

4 结论：符合上述概率范围的仅有A选项7/12，因此本题选择A。

发表于 2020-03-20 11:30:27 回复(0)

面试官，您看我还有机会吗

反过来看时，在拿到第一个红球前，则必须已经取到至少一个蓝球和一个绿球。可分两种情况：
1）若第一个取到蓝球，概率为1/3, 接下来只要黄球比红球先取到才算有效，而先取到黄球比先取到红球的概率为3/4。
2）若第一个取到黄球，概率为1/2, 接下来先取到蓝球比先取到红球的概率为2/3。
1/3 * 3/4 + 1/2 * 2/3 = 7/12

发表于 2020-08-20 20:24:25 回复(0)

牛客51467754号

受评论区的启发，觉得是否可以这么看：

1. 10个红球看作一组，20个黄球堪称2组各10个球，3个蓝球堪称3组各10个；

2. 本质上我们不关心上述6组球内部的相对顺序，只关心每一组球中最后一个出现的球的相对位置；

2.1 第一组10个红球中最后一个出现的球的位置记作R；

2.2 第二组和第三组各10个黄球，这两组中最后一个出现的球的位置分别记作 Y1,Y2;

2.3 最后三组蓝球中每一组最后一个球出现的位置分别记作B1,B2,B3。

3. 在随机抽取过程中，这六组的地位是等价的，同时在每一组中10个球的地位也是等价的；

4. 那么问题（仿佛）可以简化成这6个球(R,Y1,Y2,B1,B2,B3)的相对位置问题；

5. 求解：

5.1 上述6个球的排序共有 $N = A_6^6=720$ 种情况；

5.2 Y1,Y2均排在R前面共有 $X = A_2^2C_6^3A_3^3=240$ 种情况；

5.3 B1,B2,B3均排在R前面共有 $Y = A_2^2C_6^4A_3^3=180$ 种情况；

5.4 Y1,Y2和B1,B2,B3均排在R前面共有 $K = A_5^5C_6^6=120$ 种情况；

5.5 最后的概率为 $\frac{N-X-Y+K}{N}=\frac{720-240-180+120}{720}=\frac{7}{12}$ 。

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鉴于#牛客75588759号#这位题友指出“仿佛”一词，特作如下补充：
如上所述可知，如果每一组只有1个球，总共是1个红球、2个黄球、3个蓝球，那么红球最先被取完的概率是 $\frac 7 {12}$ ，那么如果每一组有10个球，总共有10个红球、2*10个黄球、3*10个蓝球，那么还是把每一组中的最后一个球出现的位置记作如上所述的那样，分别为R、Y1、Y2、B1、B2、B3。

对于6组中最后出现的6个球的排序共有 $A_6^6$ 种可能，暂且拿出其中两种排序情况进行分析：

1. R Y1 Y2 B1 B2 B3 (注：这个序列仅表示这六者的相对位置，不表示绝对位置)

在所有的60个球的全排序种满足这种排序要求的共有：

1.1 在R之前放入9个红球（红球组间的顺序暂不计算），记可能的情况数目为 n1，下同；

1.2 在Y1之前放入9个黄球，共有 n2*n1 种情况；

1.3 在Y2之前放入9个黄球，共有 n3*n2*n1 种情况；

1.4 在B1之前放入9个蓝球，共有 n4*n3*n2*n1 种情况；

1.5 在B2之前放入9个蓝球，共有 n5*n4*n3*n2*n1 种情况；

1.6 在B3之前放入9个蓝球，共有 n6*n5*n4*n3*n2*n1 种情况；

考虑每一组内部的全排序，满足这种要求的共有 $T = n1*n2*n3*n4*n5*n6*(A_{10}^{10})^6$ 种可能。

2. Y1 Y2 R B1 B2 B3

在所有60个球的全排序种满足这种排序要求的共有：

2.1 在Y1之前放入9个黄球，可能的情况数目与1.1中在R之前放入9个红球相同，也是n1；

2.2 在Y2之前放入9个黄球，同理共有n2*n1中可能；

2.3 在R前放入9个红球，共记n3*n2*n1；

2.4~2.6 同上；

所以满足这种要求的也是共有 $T = n1*n2*n3*n4*n5*n6*(A_{10}^{10})^6$ 种情况。

于是，我们知道，对于R、Y1、Y2、B1、B2、B3的每一中排列，对应的60个球的全排序种的情况数目是相等的，均为上述的 $T$ ，60个球总共的排列结果有 $T\times A_6^6(等于A_{60}^{60})$ 种。所以，上述6组种每一组球有多少个并不影响最后的概率，只要6组球的数目相等即可。于是，10红、20黄、30蓝球中红球先被抽完的概率与1红、2黄、3蓝球中红球先被抽完的概率相等，均为 $\frac{7}{12}$ 。