一个西瓜切三次，最多可被分成多少块?

[单选题]

一个西瓜切三次，最多可被分成多少块?

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olos

B 前两刀对角线，第三刀过中线，对半切

编辑于 2017-03-03 10:27:33 回复(0)

静水云深

答案：B;

F(n)=(n* n* n+5*n+6)/6;

F(3)=(3*3*3+5*3+6)/6=8块。

解析：转换为空间分割问题。

（一）讨论直线分割平面

直线要想最多分割平面的前提：任意两条直线都要相交，任意三条直线不能交于同一点。

设n条直线最多分割平面为f(n)部分，一条直线分平面为两部分，f(1)=2;f(2)=4;f(3)=7;......，首先要弄明白的就是f(n)与f(n+1)的关系。

看新增加的第n+1条直线，由前提条件可知，增加的第n+1条直线，与前n条有 n个交点，而这n条直线又把第n+1条直线分成n+1段，而这n+1段又把它所在的平面一分为二，所以由n条直线增加到n+1条直线增加了n+1个区域。

即:f(n+1)=f(n)+n+1;故有:

f(1)=2;

f(2)=f(1)+2;

f(3)=f(2)+3;

......

f(n)=f(n-1)+n;

以上各式相加得:f(n)=2+2+3+4+...+n=(1/2)(n*n+n)+1;f(1)=2同样适合。

即f(n)=(1/2)(n*n+n)+1;该结论对以上所有情况都成立。

（二）讨论平面最大分割空间

满足条件的前提：所有平面都相交，任意三个平面不相交于同一直线。

设n个平面最多分割空间为F(n)个区域，一条直线分平面为两部分，即F(1)=2;F(2)=4;F(3)=8;......,接下来要弄清楚F(n)与F(n+1)的关系。

考察n+1个平面，前面的n个平面与这个平面相交得n条交线，已知这n条直线两两相交且没有任意三条直线相交于同一点，由前面讨论的结果知：n条直线最多分割平面为f(n)部分，而f(n)部分把他们所在的空间一分为二，这样有：F(n+1)=F(n)+f(n);故有：

F(1)=2;

F(2)=F(1)+f(1)=F(1)+(1/2)(1*1+1)+1;

F(3)=F(2)+f(2)=F(2)+(1/2)(2*2+2)+1;

F(4)=F(3)+f(3)=F(3)+(1/2)(3*3+3)+1;

......

F(n)=F(n)+f(n)=F(n)+(1/2)(n*n+n)+1;

以上各式相加的:

F(n)=(n*n*n+5*n+6)/6;

这样，n个不同平面最多分割空间为(n*n*n+5*n+6)/6；

补充：

证明：1²+2²+3²+...+n²=n（n+1)（2n+1）/6
∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1（即（a+1)³=a³+3a²+3a+1）
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
......
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+...+n²）+3（1+2+3+...+n）+（1+1+1+...+1）
3（1²+2²+3²+...+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+...+n）-（1+1+1+...+1）
3（1²+2²+3²+...+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n/2-n
6（1²+2²+3²+...+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+...+n²=n（n+1)（2n+1）/6.

编辑于 2017-04-07 21:35:34 回复(7)