这道题的确是有规律,但是133规律的理由实际上是比较复杂的,并不是试出来的,因为存在有分数部分,所以规律在不被证明的情况下是可能打破的,但这种类型题的确是找规律才能解决,这里提供一个解法。
思考这个式子:(2+ √3) m +(2- √3) m ;你可能考虑到了两点,1是展开后,所有根式项被消去了剩下的是整数,2是(2- √3) m 这个式子永远都是一个小于1的数字。通过这两点,我们可能可以想了,实际(2+ √3) m +(2- √3) m 这个整数减1实际就是(2+ √3) m 的所有整数部分。
我们可以试一试假设f(m) = (2+ √3) m +(2- √3) m ,那么f(0) = 2,f(1) = 4,f(2) = 14,f(3) = 52,f(4) = 194,f(5) = 724看到这里,可能又有人说我发现这个规律了!末尾数是244的循环。的确这个规律是正确的,但是在没被证明的情况下,万一f(30)出现了小差错呢,都是有可能的,如费马的大素数猜想后来也被欧拉举出反例。
那现在来证明,根据之前的f(0) ~ f(5) 的结果,我们其实有一个大致的方向了,证明这个数列满足末尾数是244循环出现的!好了其实有这个思路之后,最直接的想法其实是根据通式求出递推式,若递推满足,那么我们猜想成立。我直接是猜测这个式子的满足线性,为什么,因为不满足线性的式子基本不可能出现循环规律(经验告诉我哈)。
好吧那么我们基本可以猜想这个式子实际是满足这个格式的f(m)=af(m-1)+bf(m-2),满不满足呢?试试,那么得出下列式子:
7+4√3=(2+√3)a+b
7-4√3=(2-√3)a+b
消去得出,a=4,b=-1。哈?好像猜对了。f(m+2)=4f(m+1)-f(m),在满足这种规律的情况下,只计算个位数用T(m)表示,T(0)=2,T(1)=4,T(2)=4,T(3)=4*4-4=2,T(4)=4*2-4=4,T(4)=4*2-4=4,当末尾重复出现244,并且显然在满足这个通式的情况下永远不会跳出这个循环。考虑T(80)=4。那么选4,呸呸呸!别忘了还要减一个(2- √3) m ,这个是一个小于1的数,所以结果肯定是xxxxx3.xxxxxx,个位数部分是3哦