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现在请问当m=80时，他们会记录多少？

[单选题]

众所周知我们所处的宇宙的质能公式是E=mc ² ，其中c是真空中的光速。和我们的宇宙平行的另一个宇宙meta，研究显示他们使用的质能公式是E=(2+ √3) ^m ，当一个物体的质量很大的时候，对应的能量E非常大，数据也非常的长。但meta宇宙里面的智慧生物非常的懒，他们只愿意把E取整，然后记录对应的能量E的最后一位整数，比如m=0时，他们会记录1，m=1时，他们会记录3，m=2时，他们会记录3.现在请问当m=80时，他们会记录多少？

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进击的坑坑

这道题的确是有规律，但是133规律的理由实际上是比较复杂的，并不是试出来的，因为存在有分数部分，所以规律在不被证明的情况下是可能打破的，但这种类型题的确是找规律才能解决，这里提供一个解法。

思考这个式子：(2+ √3) m +(2- √3) m ；你可能考虑到了两点，1是展开后，所有根式项被消去了剩下的是整数，2是(2- √3) m 这个式子永远都是一个小于1的数字。通过这两点，我们可能可以想了，实际(2+ √3) m +(2- √3) m 这个整数减1实际就是(2+ √3) m 的所有整数部分。

我们可以试一试假设f(m) = (2+ √3) m +(2- √3) m ,那么f(0) = 2，f(1) = 4，f(2) = 14，f(3) = 52，f(4) = 194，f(5) = 724看到这里，可能又有人说我发现这个规律了！末尾数是244的循环。的确这个规律是正确的，但是在没被证明的情况下，万一f(30)出现了小差错呢，都是有可能的,如费马的大素数猜想后来也被欧拉举出反例。

那现在来证明，根据之前的f(0) ~ f(5) 的结果，我们其实有一个大致的方向了，证明这个数列满足末尾数是244循环出现的！好了其实有这个思路之后，最直接的想法其实是根据通式求出递推式，若递推满足，那么我们猜想成立。我直接是猜测这个式子的满足线性，为什么，因为不满足线性的式子基本不可能出现循环规律（经验告诉我哈）。

好吧那么我们基本可以猜想这个式子实际是满足这个格式的f(m)=af(m-1)+bf(m-2)，满不满足呢？试试，那么得出下列式子：

7+4√3=(2+√3)a+b

7-4√3=(2-√3)a+b

消去得出，a=4,b=-1。哈？好像猜对了。f(m+2)=4f(m+1)-f(m)，在满足这种规律的情况下，只计算个位数用T(m)表示，T(0)=2，T(1)=4，T(2)=4，T(3)=4*4-4=2，T(4)=4*2-4=4，T(4)=4*2-4=4，当末尾重复出现244，并且显然在满足这个通式的情况下永远不会跳出这个循环。考虑T(80)=4。那么选4，呸呸呸！别忘了还要减一个(2- √3) m ，这个是一个小于1的数，所以结果肯定是xxxxx3.xxxxxx，个位数部分是3哦

编辑于 2020-06-19 19:04:15 回复(25)

牛客8981227号

因为懒得数3以后的数字，超过3的统一为3。

发表于 2017-07-26 02:45:15 回复(13)

不愿透露姓名的网友

做了智力题，感觉自己就是个**啊。

发表于 2018-07-05 16:00:54 回复(2)

宫保鸡丁没萝卜

m=0，记录1；m=1，记录3；m=2，记录3；

m=3，记录1；m=4，记录3；m=5，记录3；

... ...

m=78，记录1，m=79，记录3；m=80，记录3

规律就是从零开始，三个数为一个周期，一个周期当中记录是1，3，3。从0到80一共是81个数，正好能整除3，也就是说m=80落在一个周期里的第三个数，记录3。

选择C

编辑于 2017-06-27 15:39:25 回复(11)

xlwmfh

刚开始用二项公式拆开好像不太对，然后看到一个回答启发了我，遇到这种根式就联想到平方差公式，这是初高中的知识都不会用了……

$(2+\sqrt{3})^{80}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})^{79}}$

$(2-\sqrt{3})^{79}$ 的个位是1，所以结果是2+根号3的个位，也就是3

发表于 2020-04-07 21:56:23 回复(3)

HD201902191502174

思考这个式子：(2+ √3) m +(2- √3) m ；你可能考虑到了两点，1是展开后，所有根式项被消去了剩下的是整数，2是(2- √3) m 这个式子永远都是一个小于1的数字。通过这两点，我们可能可以想了，实际(2+ √3) m +(2- √3) m 这个整数减1实际就是(2+ √3) m 的所有整数部分。再考虑整数部分，(2+ √3) m用二项式展开，就可以发现只需要计算2^80+3^40的个位数就是整数部分的个位数，是7，小数部分个位数是6，7+6得到3

发表于 2019-06-10 17:18:43 回复(0)

comment

$\left( 2+\sqrt{3} \right)\times\left( 2-\sqrt{3}\right)=1$ ，在公式最后乘以 $\left( 2-\sqrt{3}\right)$ ，再乘以 $\frac{\left( 2+\sqrt{3}\right)}{\left( 2-\sqrt{3}\right)}$ ,m=80,也就是相当于m=1的结果。

发表于 2019-03-21 13:15:40 回复(1)

无畏少年

当m=80时可以化简为：2的80次方+3的四十次方+12的40次方。2、3、12的m次方的最后一位是重复出现的. 2的次方最后一位依次为：1、2、4、8、6、2、4、8、6……；3的为：1、3、9、7、1、3、9、7……；12的为：1、2、4、8、6、2、4、8、6……；所以80%4=0，所以第一项对应的个位数为6；40%4=0，所以第二、三项对应的个位数分别为1、6；三者相加13取个位数为3

发表于 2022-10-13 00:05:20 回复(0)