我们用一个等臂天平来称物体的质量,如果我们要称的物体质量范围_

huixieqingchun

砝码有三个状态。可以用三进制来表示。

发表于 2016-07-20 14:39:02 回复(0)

不忘初心跟党走

此题可以看成用多少个数可以表示1-40之间任何一个数。砝码有三种状态，放在物体同侧，放在物体另一侧，并不使用。所以这些数之间可以加可以减，也可以不计算在内。考虑用对称三进制来计算，即，-1，0，1三个状态。40可以用1111来表示，所以最多只用四个砝码就可以表示1-40之间所有数。

发表于 2015-12-18 11:36:16 回复(17)

牛客692328号

从1开始：缺少1，+1
2：缺2，但是前面最大可能满足的元素为1，所以下个砝码可以为3（3-1=2）
3：
4：
5：缺5，而前面的砝码可以最大表示4，所以为了满足5，下个砝码可以为4+5=9（尽可能稀疏）
OK，现在我们前两个砝码可以表示范围为1-4；所以《9-4，9+4》的范围统统可以表示，也即《5，13》都可以表示了。

14：缺少14，前面砝码最大可以表示为13，所以为了满足14的要求，下个砝码应该为13+14=27，如此，前面3个砝码的最大范围为1-13，故而，《27-13，27+13》的范围便统统可以表示了【14，40】

于是最少需要4个砝码

发表于 2015-11-09 16:11:53 回复(9)

飞雪Snown

【1 老鼠试毒药问题】

40 个瓶子中有一瓶毒药，一只老鼠吃到毒药一周之内会死，如果要在一周之内检测出有毒药的一瓶，问至少需要几只老鼠？

解答：

（1）十进制转二进制：瓶子的十进制编号为1-40，每个编号对应一个6位二进制编号，比如40对应的二进制为101000，18对应的二进制为010010。

（2）进行实验：需要6只老鼠，让这6只老鼠中的第 i 只老鼠喝掉所有二进制第 i 位是1的瓶子，比如第1只老鼠喝掉二进制第1位是1的20个瓶子

000001,
000011,
0000101, 000111,
001001, 001011, 001101, 001111,
010001, 010011, 010101, 010111, 011001, 011011, 011101, 011111,
100001, 100011, 1000101, 100111。

（3）得出结论：一周之后，如果第i只老鼠死掉，那么说明毒药瓶子编号在对应二进制第 i 位是1，否则是0，由此可以组合出毒药的二进制编号。比如，如果第1只和第3只老鼠死掉，其余4只老鼠没死，那么毒药二进制编号为000101，即十进制编号为5。

（4）总结：因为老鼠的状态只有死或不死，所以这里用二进制表示。

【2 天平称物体问题】

我们用一个等臂天平来称物体的质量,如果我们要称的物体质量范围在1到40克(整数),请问我们最少需要几块砝码可以完成这项物体质量的称量?

解答：

（1）十进制转换对称三进制：瓶子的十进制编号为1-40，每个编号对应一个4位三进制编号，比如40对应的二进制为1111，34对应的二进制为11F1。

（2）进行称量：需要4个砝码，分别重1g、3g、9g和27g，这4个砝码之间加减组合，可以表示1-40之间所有数。比如40=27+9+3+1, 34=27+9-3+1等。

（3）总结：三进制又分为普通三进制（以1，2，0来表示数字）和对称三进制（以-1，0，1来表示数字，习惯上-1用F来替代）。对称三进制相对于二进制来说，有个优势就在于可以更接近人类的思维，可以简洁的表达所有整数。毕竟人类正常的思维，是不可能仅靠“真假”两种逻辑来判断的，很多时候我们还有一种模棱两可的思维判断，或者说，就是介于真假之间的判断。本题中，因为砝码的状态有放物体同侧、放物体异侧、不放，所以这里用对称三进制表示。

备注，下面是笔者认为对称三进制合理性的相关理论及证明：

可以用归纳法证明对称三进制可以表示所有整数，其中N位对称三进制可以表示十进制数-(3^N-1)/2~(3^N-1)/2
e 进制是信息表示的最优解，证明如下：

前提：我们考虑存储空间一定、表示整数最多为最优条件

假定总共有n位，每位m个状态，m*n=v，即前提条件为：在v一定时，使得m^n最大，也就是k(n)=(v/n)^n最大

我们取自然对数 ln(k(n))=(ln(v)-ln(n))*n=ln(v)*n - ln(n)*n, 即底数为 $e=\lim_{x \rightarrow \infty}{(1+\frac{1}{x})^{x}}$ ，有(lnx)'=1/x

对n求导得 ln(v) - (n*1/n + ln(n)) = ln(v) - 1 - ln(n)

解得ln(n)=ln(v)-1是k(n)唯一的极值点，易知是k(n)最大值点

所以n=v/e m=e时，k(n)最大

发表于 2018-04-07 15:50:33 回复(2)

下课睡觉～

看下面大佬的评论，用对称三进制(-1,0,1)就可以解决了，1111可以表示1-40这些数。

也就是说用 1g,3g,9g,27g这四个砝码就可以了，因为这些砝码两边都可以放，也可以不放。

例如需要称重的物体是7g，那么左边：9g砝码+1g砝码；右边：称重物体+3g砝码。

例如需要称重的物体是38g，那么左边：27g砝码+9g砝码+3g砝码；右边：称重物体+1g砝码。

编辑于 2017-08-31 10:31:12 回复(0)

SunburstRun

答案是B

只需要‪1 3 9 27即可

编辑于 2017-01-06 22:39:55 回复(13)

任我游

这个问题和1000瓶毒药，多少只老鼠可以完全试毒一样的，只是老鼠的状态只有死或不死(所以用二进制表示)。而这里砝码的状态有放左边，放右边，不放(所以用3进制表示)。其实很简单的。

发表于 2017-07-30 15:53:50 回复(2)

xiayan

确实是4个分别为2、4、10、20就能表示，下面我说明一下从1-10的表示方法，之后的类似：x表示未知
1：<2即为1；
2：直接表示；
3：>2&&<4即为3；
4：直接表示；
5：>4&&<(2+4);
6：2+4；
7：x+2<10&&10<x+4;
8:2+x=10;
9:x<10,x不为1-8，即为9；
10：10；

发表于 2016-09-08 17:06:16 回复(1)

白夜12530

看热评的"枚"思路来的，可以说是把他没讲清的讲清楚吧。

思路：

题目求用最少多少个砝码可以称出1到40的重量物件——>转化成求用多少个数可以表达完 1到40的所有数字。

考进制！每一种进制都可以表达所有数字！

知道考进制了，那么分两方面：

一、你选择的X进制本身能用最少多少个数字表达它自身范围所有数字，把最少个数记为Xo。

例如3进制，0到2（3进位了），用1个数字就可以表达完0，1，2，（00，01，02=10-01），0就是没有，所以是一个数字，则Xo等于1。

例如5进制，0到4（5进位了），用最少2个数字才可以表达1，2，3，4（用1，3。00，01，03），则Xo等于2。

二、你把范围最大值转为X进制后得到的值有多少位，记为Yo。

例如40转为三进制是1111，Yo等于4。

40转为五进制是130，Yo等于3。

三、Xo与Yo的意义

Xo表示在每一位有多少种可能，Yo表示有多少位。

那么1到40用三进制表示，1111，

后三位的所有可能是（Yo-1）×（Xo）= （4 -1 ） * 1 种，

最左位（首位）最少需要1种（0和1），

加起来就是3+1=4种。

所用数字0001，0010，0100，1000。

1到40用五进制表示，130，

后两位的所有可能是（Yo-1）×（Xo）= （3 -1）* 2 种，

最左位（首位）最少需要1种（0和1），

加起来就是2×2+1=5种。

所用数字是001，003，010，030，100。

拓展：例如改为1到55，最少是多少个砝码？（首位不再是1）

区别只在首位有多少种可能，看首位是最少需要个数。

55化成3进制，2001，最左位（首位）最少需要2种了（0和1，2），因为他没有更前位的1了！最少需要3+2=5个！所用数字0001，0010，0100，1000，2000或者10000。

55化成5进制，210，最左位（首位）最少个数也是2种了（0，1，2）。最少需要2×2+2=6个。所用数字是001，003，010，030，100，200或者300。

总结

1.进制本身范围最少个数

2.题目要求的范围化成的进制位数

3.注意首位最少需要个数。

编辑于 2020-06-07 01:08:56 回复(0)

鳝有鳝抱

可是砝码的规格是固定的啊 1g 2g 5g 10g 20g依次往下

发表于 2022-06-20 17:49:27 回复(0)

牛客204961231号

我就想知道有各种质量的砝码嘛

发表于 2021-09-24 09:09:45 回复(0)

牛客792171348号

是我没理解嘛？我想知道这里所说的四个砝码，不是重量砝码嘛？我理解的是：1，2，4，8，16，9六块砝码可以代表1-40？最不济也是1-16五块砝码来着。。凉了脑子没跟上

发表于 2021-08-04 09:13:28 回复(0)

Thewayofcoder

1 3 9 27

关键点：正向和反向使用砝码。(假设从1开始)

1的砝码范围为：1 如何产生2呢？反向使用1，则：n-1 = 2。得第2个砝码为：n=3 )

1 3 的砝码范围为：1~4 如何产生4呢？方向使用1~4，则：n-(1~4) = 8~4。得第3个砝码为：n=9)

1 3 9 的砝码范围为：1~13 同上可得，第4个砝码 = 27。恰好构成 1-40的测量范围。

发表于 2018-09-08 15:46:35 回复(0)

Ethandy

https://www.zhihu.com/question/30164499/answer/47003542

发表于 2017-09-05 17:20:23 回复(0)

qqqk

砝码有三种状态，所以联想到了三进制，在选择只放在物体另一侧的情况下，40恰好可以用，1，3，9，27表示，所以最少需要4块

发表于 2017-08-30 21:28:20 回复(0)

小橘子

反对让人吧

发表于 2016-10-05 17:38:05 回复(0)

S珊瑚在网

想的时候是对的，但既然数数输错了，首先要保证1-9都能凑出来所以1g2g3g5g必须有然后是10g的砝码

发表于 2016-09-13 08:37:48 回复(0)

轩~^~*~^~

用二进制来表示，0表示不放，1表示放，所以要表示40，所以2⁵只能表示32以前的所有数，所以要6个，2⁶

发表于 2016-08-19 20:47:16 回复(0)

牛客413522号

二进制

0 1 2 4 8 16 32 64 128 258 512 1024 2048 。。。它们之前的都能表示

发表于 2016-02-24 21:51:08 回复(0)

我们用一个等臂天平来称物体的质量,如果我们要称的物体质量范围

问题信息

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