将一个8厘米×8厘米×1厘米的白色长方体木块的外表面涂上黑色

[单选题]

将一个8厘米×8厘米×1厘米的白色长方体木块的外表面涂上黑色颜料，然后将其切成64个棱长1厘米的小正方体，再用这些小正方体堆成棱长4厘米的大正方体，且使黑色的面向外露的面积要尽量大，问大正方体的表面上有多少平方厘米是黑色的（）

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答案：A，证明如下

考虑将棱长为4的正方体分为面，棱，顶点三个部分。

我们容易发现，在棱长为4的正方体中，不存在相对两面同时计入贡献，即不存在相对两面同时涂黑。故在长方体的面中，每个正方体最大贡献为1，又因为正方体中有6*2*2=24个面>6*6=36，故面的贡献为24；

对于顶角，我们发现需要互不相对的3个面涂黑，此时仅有长方体的四个角满足条件，故贡献为4*3=12；

对于棱，只有长方体的棱与顶角满足条件，因顶角最大贡献为3，所以此处只取长方体的棱，发现正方体的总棱长（不含顶点）为12*4=48>4*6=24，故贡献为24*2=48。

综上,总贡献最大值应为24+12+48=84，证毕。

发表于 2024-10-12 07:56:38 回复(0)

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