Julia：如何调试微分方程求解问题

这篇文章是 Chris Rackauckas 的帖子的翻译和总结，但是并不按照原文完全翻译，有个人的取舍，可以的话建议观看原文。原文地址是：PSA: How to help yourself debug differential equation solving issues。

Debug 微分方程求解问题基本上都是在做同样的一件事，所以这篇文章是一篇总结。如果想要查看有关特殊问题的更多信息，可以去看 DifferentialEquations.jl 文档的 FAQ 一节。

dt <= dtmin. Aborting. There is either an error in your model specification or the true solution is unstable.

NaN dt detected. Likely a NaN value in the state, parameters, or derivative value caused this outcome.

Instability detected. Aborting

如果发现自己遇到了微分方程求解器出现了问题，第一件事情就是降低精度，或者说降低容忍度（tolerance）。很多情况下，降低容忍度可以提高稳定性。可以试试让 abstol=1e-10,reltol=1e-10 看看是不是容忍度高的问题。

如果这个方法没有用，试试使用更稳定的求解器，例如一些对于刚性方程（stiff equations）的求解器：TRBDF2(),KenCarp4() 或者 QNDF().

如果都没有用，问题可能出现在模型上。如果怀疑 Julia 求解器有问题，有一个办法去证明：使用非 Julia 的求解器。只要简单地把 solve(prob,Tsit5()) 改为 solve(prob,CVODE_BDF()) 就会使用经典 Sundials C/C++ 库。

Sundials.jl，C/C++ SUNDIALS 库的封装，包括 CVODE_Adams, CVODE_BDF, IDA 和 ARKODE.
ODEInterfaceDiffEq.jl，经典 Hairer Fortran 代码的封装，例如 dorpi5, dop853, radau, rodas 等等.
LSODE.jl，经典 lsoda 算法的封装.
MATLABDiffEq.jl，MATLAB ODE 求解器 ode45, ode15s 等的封装.
SciPyDiffEq.jl，SciPy 的 odeint (LSODA) 和其它方法（LSODE 等）的封装.
deSolveDiffEq.jl，R 语言库常用方法的封装.

注意：这些求解器包没有默认安装，在使用之前需要先安装包，例如在使用 Sundials 求解器之前通过 ]add Sundials; using Sundials 来安装先

如果你的模型在所有主流求解器上都失败了，包括从 C/C++ 和 Fortran 调用的所有主流求解器，那么问题不在于求解器，而在于你的模型。用所有语言创建的每个求解器都是不正确的，而不是你几个小时前编写的代码的可能性非常小。

以下是常见问题列表：

仔细逐项地检查自己的模型。看看模型里面是否有哪一些项会无限增大的，哪一项的导数会变得非常大，为什么变大了，变大是不是正常的。
仔细检查模型的假设。记住导数并不一定随着 u 变为零而变为负数。u' = -sqrt(u) 在有限时间内达到零，仅仅只是正在建模的系统有一个属性（为正数），但是并不意味着模型实际上在求解的时候也具有这个属性。可以去查一查导致与该属性相反的项，看看导数的值是不是正确。
仔细检查是不是违反了 ODE 假设。ODE 右侧的 f 函数应该始终提供相同的结果，即 u' = f(u,p,t) 需要唯一定义，否则一定无法求解。
- 如果 f 函数出现了随机性，求解器的自适应性会认为 ODE 正在以高的错误率求解（因为导数不断变化），为了让随机性降低到零，这样就会达到 dtmin。如果确实需要随机性，用 SDE 或者 RODE 求解器）；
- 如果 f 函数会修改 u，那么用不同的步长调用 f 会是不确定的，这样也会导致求解失败。如果确实需要这么做，可以使用 callback；
- 如果 f 函数缓存上一步的值，意味着如果改变了 dt，那么就是在改变 f，这样 u' 也不再被定义了。自适应性 ODE 求解器不一定固定地往前求解，有可能会先尝试一个大的步长，然后再选择小的步长；