hdu5750 Dertouzos （线性筛加思路）

题意：给你数n和d，让你求小于n的数中，以d作为最大因子的数有多少个。

我们简单分析可得，这个数范围必定是 d + 1到n - 1。

本题刚开始就会被数据范围所限制，开1e9的数组显然不行，而这题作为一道练习题想到了线性筛。

但是不管怎样开1e9的数组是不合理的，所以就分析题意，果然，d作为数的最大真因子有 d * x = num（<n）

且x一定是个大于1的质数，即x一定是数的最小质因子，那么我们可以得到x的范围

即x <= d 且 x <= (n - 1) / d 即xmax = min(d, (n - 1) / d);

那么我们只需枚举小于等于xmax的素数即可。

我们通过分析得知，xmax最大与d相同，两者之积小于n，故我们只需求1e9开平方的范围内素数即可，1e5足够了。

但是在枚举过程需要注意的是，我们所枚举的2~xmax范围内的所有素数，如果d是当前素数的倍数，即d = pri[i] * x'， 那么到下一个素数的时候，因为d' = pri[i + 1] * x' > d，d就不能保证是最大的了，所以当d可以被某个素数整除的时候， 就要退出循环了

比如我们求小于8的最大真因子为2的数有几个，这里即n = 16, d = 4; xmax = min(4, 3) = 3; pri[] = {2, 3};

枚举素数即 pri[0] * d = 8, 但是 d % pri[0] == 0所以要退出循环。

当枚举pri[1]时，pri[1] * d = 3 * 4 = 12，我们很容易得到12的最大真因子为6

而可以判断出的退出循环的原因就是：d = pri[0] * x'，当枚举到pri[1]时，d * pri[1] = pri[0] * x' * pri[1]，我们知道pri[1] > pri[0]，所以d' = pri[1] * x' > d，所以这时候d就不是最大真因子了。那么当d可以被某个素数整除时，下一次循环d就必定不是最大真因子。

代码在此：

/*
由于这题是用最小质因子反推
最次的情况就是最小质因子和最大因子相同 
所以只需枚举10w的素数即可 
*/
#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010; 
int pri[N];
bool isp[N] = {true, true};
int cnt = 0;

void xs(){
	for(int i = 2; i < N; i++){
		if(!isp[i])
			pri[cnt++] = i;
		for(int j = 0; j < cnt && 1ll * i * pri[j] < N; j++){
			isp[i * pri[j]] = true;
			if(i % pri[j] == 0) 
				break;
		}
	}
}

int main()
{
	xs();
	
	int t;
	scanf("%d", &t);
	
	while(t--){
		int n, d;
		scanf("%d%d", &n, &d);
		
		int ans = 0;
		
		/*
		思想：已知d，我们要求出从d+1到n-1之间以d为最大真因子的数 
		设该数为x 则有 x <= d 且 d * x <= (n - 1) 得：x <= d 且 x <= (n - 1) / d 
		即Xmax = min(d, (n-1)/d)
		*/
		int xmax = min(d, (n - 1) / d);
		
		for(int i = 0; pri[i] <= xmax; i++){ 
			ans++;
			//如果d是当前素数的倍数，即d = pri[i] * x'， 
			//那么到下一个素数的时候，因为d' = pri[i + 1] * x' > d
			//d就不能保证是最大的了，所以当d可以被某个素数整除的时候， 
			//就要退出循环了 
			if(d % pri[i] == 0) 
				break;
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	
	return 0;
}