【蓝桥杯】 2018年国赛 矩阵求和

标题：矩阵求和

经过重重笔试面试的考验，小明成功进入 Macrohard 公司工作。
今天小明的任务是填满这么一张表：
表有 n 行 n 列，行和列的编号都从1算起。
其中第 i 行第 j 个元素的值是 gcd(i, j)的平方，
gcd 表示最大公约数，以下是这个表的前四行的前四列：
1  1  1  1
1  4  1  4
1  1  9  1
1  4  1 16

小明突然冒出一个奇怪的想法，他想知道这张表中所有元素的和。
由于表过于庞大，他希望借助计算机的力量。

「输入格式」
一行一个正整数 n 意义见题。

「输出格式」
一行一个数，表示所有元素的和。由于答案比较大，请输出模 (10^9 + 7)(即：十亿零七) 后的结果。

「样例输入」
4

「样例输出」
48

「数据范围」
对于 30% 的数据，n <= 1000
存在 10% 的数据，n = 10^5
对于 60% 的数据，n <= 10^6
对于 100% 的数据，n <= 10^7

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗  < 2000ms

题解：莫比乌斯反演的基础题目。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int mod=1e9+7;
const int maxn = 10000000 + 10;
ll mu[maxn], vis[maxn], prim[maxn];
ll cnt = 0;		//素数的个数
ll d[maxn];
ll sum(int n)
{
	ll ans=0;
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)		//整除分块 
	{
		r=n/(n/l);
		ans=(ans+(mu[r]-mu[l-1]+mod)%mod*((ll)n/l)%mod*((ll)n/l)%mod)%mod;
	}
	return ans;
}
void get_mu(int n)
{
	mu[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!vis[i]) { prim[++cnt] = i; mu[i] = -1; }
		for (int j = 1; j <= cnt && prim[j] * i <= n; j++)
		{
			vis[prim[j] * i] = 1;
			if (i%prim[j] == 0)break;
			else mu[i*prim[j]] = -mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		d[i]=((ll)i*i)%mod;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		d[i]=(d[i-1]+d[i])%mod;			//d的前缀和 
		mu[i]=(mu[i-1]+mu[i]+mod)%mod;	//mu的前缀和 
	}
	ll ans=0;
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)			//整除分块 
	{
		r=n/(n/l);
		ans=(ans+(ll)(d[r]-d[l-1]+mod)%mod*(ll)sum(n/l)%mod)%mod;
	}
	cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	get_mu(n);
	return 0;
}