变量替换法：

$令y=uv$令y=uv
$y^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$y′=u′v+uv′
$u^{\prime }v+u{v}^{\prime }+puv=q$u′v+uv′+puv=q
$u^{\prime }v+u$u′v+u $(v^{\prime }+pv)$(v′+pv) $=q$=q
要是红色的这一项是0就好啦~
那我们就让他等于0吧(๑◡๑)

$v^{\prime }+pv=0$v′+pv=0

$\frac{v^{\prime }}{v}$vv′​=–p

$\int \frac{v^{\prime }}{v}$∫vv′​dx= $\int$∫–pdx

$lnv=\int --pdx$ln v=∫−−pdx

$v=C_1{e}^{\int -pdx}$v=C1​e∫−pdx

$所以,当v等于这么多时，那一坨就没了$所以,当v等于这么多时，那一坨就没了

$这时只需要求u^{\prime }v=q了$这时只需要求u′v=q了

$u^{\prime }=\frac{q}{v}$u′=vq​

$\int u^{\prime }dx=\int \frac{q}{v}dx$∫u′dx=∫vq​dx

$u=\int \frac{q}{v}dx+C_2$u=∫vq​dx+C2​

$=\int \frac{q}{C_1{e}^{\int -pdx}}dx+C_2$=∫C1​e∫−pdxq​dx+C2​

$这样u和v就都求出来了$这样u和v就都求出来了

$所以y就=uv$所以y就=uv
$=(\int \frac{q}{C_1{e}^{\int -pdx}}dx+C_2)C_1{e}^{\int -pdx}$=(∫C1​e∫−pdxq​dx+C2​)C1​e∫−pdx

$=(\int \frac{q}{C_1{e}^{\int -pdx}}dx+C)e^{\int -pdx}$=(∫C1​e∫−pdxq​dx+C)e∫−pdx

这种叫做变量替换法

常数变易法：

$当q=0的时候，y就好求$当q=0的时候，y就好求

$y=C{e}^{\int -pdx}$y=Ce∫−pdx

$但q不等于0，所以那个常数C肯定不会是常数，就让他变成u吧$但q不等于0，所以那个常数C肯定不会是常数，就让他变成u吧

$y=u{e}^{\int -pdx}$y=ue∫−pdx

$然后再带入原方程把u反解出来：$然后再带入原方程把u反解出来：

$u=\int \frac{q}{e^{\int -pdx}}+C$u=∫e∫−pdxq​+C

所以

$y=(\int \frac{q}{C_1{e}^{\int -pdx}}dx+C)e^{\int -pdx}$y=(∫C1​e∫−pdxq​dx+C)e∫−pdx