题目链接 放苹果 题目描述 我们需要将  个相同的苹果放入  个相同的盘子中，允许有的盘子空着不放。求解有多少种不同的分法。（注意：由于苹果和盘子都是相同的，所以  和  是同一种分法）。 解题思路 这是一个经典的整数划分问题。问题等价于：将整数  划分为最多  个正整数之和的方案数。我们可以使用动态规划或递归来解决。 我们定义一个函数 ，表示将  个苹果放入  个盘子的方法数。我们可以根据盘子是否为空，以及苹果和盘子的数量关系，将问题分解为更小的子问题。 可以分为以下几种情况进行讨论：   边界情况  当没有苹果时 ()，只有一种分法（所有盘子都为空），即 。 当只有一个盘子时 ()，也只有...

题目链接 好多次方 (质数模) 题目描述 给定三个正整数 ，请计算以下表达式的值：  解题思路 本题要求计算一个嵌套指数对一个固定的 质数 取模的结果。当模数  是质数时，我们可以使用 费马小定理 来简化指数，这比扩展欧拉定理更为直接。   费马小定理 该定理指出，如果  是一个质数，而整数  不是  的倍数（即 ），则有：  这个性质意味着指数是以  为周期的。对于任意正整数指数 ，我们可以将指数对  取模来降幂。   指数降幂的陷阱与修正 直接使用  作为新指数存在一个问题：当  恰好是  的倍数时，。这会导致最终计算 。  如果 ，这个结果是正确的，因为 。 但如果 ，正确结果应该是 ，...

题目链接 子数列求积 题目描述 给定一个长度为  的正整数序列 。接下来有  次独立查询，第  次查询给出一对下标  ()，请你计算区间乘积  并对模数  取模后的结果。 解题思路 本题要求我们高效地计算多次给定区间的乘积。如果对每次查询都遍历区间  进行计算，在查询次数  和区间长度都很大的情况下，总时间复杂度会达到 ，这通常会超出时间限制。 为了优化查询效率，我们可以预处理信息。类似于前缀和，我们可以使用 前缀积 的思想。   前缀积数组 我们定义一个前缀积数组 ，其中  存储序列  前  个元素的乘积模  的结果： [ P[i] = \prod_{k=1}^{i} a_k \pmod{1...

题目链接 【模板】分数取模 题目描述 给定  组数据，每组给出两个整数  和一个质数模数 。请你计算  的值。 解题思路 本题的核心是在模算术（Modular Arithmetic）的框架下执行除法运算。   模除法的转化 在常规算术中，除以一个数  等价于乘以它的倒数 。在模算术中，这个概念被模乘法逆元（Modular Multiplicative Inverse）所替代。 数  在模  意义下的乘法逆元，记作 ，是一个整数 ，满足 。 因此，原问题  就等价于计算 。   求解模乘法逆元 求解模逆元有多种方法，最常用的有扩展欧几里得算法和费马小定理。  费马小定理：该定理有一个关键的适用条...

题目链接 【模板】快速幂Ⅰ ‖ 整数 题目描述 对于给定的三个正整数 ，计算 。 解题思路 本题要求计算  的  次方对  取模的结果。这是一个经典的数论问题，通常使用快速幂（Fast Power）算法来高效解决。   朴素算法及其缺陷 最直观的方法是使用一个循环，将  连乘  次，并在每一步都对  取模。这种方法的时间复杂度是 。当  的值非常大时（例如 ），这个算法会因为超时而无法通过。   快速幂算法（二进制取幂） 快速幂算法的核心思想是利用指数  的二进制表示来减少乘法次数，将时间复杂度从  优化到 。 其原理如下： 任何一个整数  都可以表示为其二进制形式：，其中 。 因此， 可以写...

题目链接 计算阶乘 题目描述 给定  个正整数 ，请你计算  的值并输出。 解题思路 本题要求在多组查询中计算阶乘对一个大质数取模的结果。   分析问题  多组查询：题目包含  组查询，其中  的最大值为 。 数据范围：每次查询的  最大可达 。 取模运算：由于阶乘结果非常大，题目要求对  取模。    朴素解法及其问题 最直观的想法是，对于每次查询 ，都写一个循环从  累乘到 ，并在每一步都进行取模操作。这种方法单次查询的时间复杂度为 。 然而，在最坏情况下（），总的计算量将达到  级别，这会远远超出常规的运行时间限制（通常是  级别），导致超时。   预处理优化 考虑到所有查询的  都在一...

题目链接 斐波那契数列 题目描述 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）定义如下：   对于 ，有   给定一个正整数  ()，请你输出  的值。由于这个结果可能很大，你只需要输出这个结果对  取模后的结果即可。 解题思路 本题要求计算斐波那契数列的第  项。根据题目给出的数据范围 ，我们可以选择最直观且高效的线性递推方法（也称为动态规划）。   算法选择   线性递推：由于  的最大值是 ，一个从头开始计算到第  项的循环，其计算量级在  左右，这对于现代计算机来说是完全可以接受的。因此，时间复杂度为  的线性递推是本题的最佳解法。   矩阵快速幂：这种方法的时间复杂度为 ，通...

题目链接 括号匹配深度 题目描述 给定一个合法的括号匹配序列 ，你需要计算出它的深度。深度的定义如下：  空串 "" 的深度是 。 如果字符串 X 和 Y 都是合法的括号匹配序列，它们的深度分别为  和 ，那么字符串 XY 的深度为 。 如果 X 的深度是 ，那么字符串 (X) 的深度是 。  解题思路 本题要求计算一个合法括号序列的最大嵌套深度。这个问题可以通过一次简单的线性扫描来解决。 我们可以维护一个计数器来实时追踪当前遍历到的位置的括号嵌套深度。具体算法如下：   初始化两个整数变量：  ：用于记录当前的嵌套深度，初始为 。 ：用于记录整个遍历过程中出现过的最大嵌套...

题目链接 小q的数列 题目描述 一个数列  定义如下：  给定一个整数 ，你需要求出  的值，以及使函数值等于  的最小的非负整数参数  是多少。 解题思路 本题包含两个子问题：一是求函数值 ，二是求满足  的最小 。问题的关键在于理解递推公式  的本质。   分析  的含义 递推公式为 。我们将其与二进制运算联系起来：    等价于将  的二进制表示右移一位（x >> 1）。    等价于取  的二进制表示的最低位（x & 1）。   根据题目的初始条件，，所以  的值恰好就等于 。   因此，递推关系可以被理解为：。 如果我们将这个过程递归地展开，我们会发现  实际上是...

题目链接 大水题 题目描述 对于一个数，把它所有位上的数字进行加和，得到新的数。重复执行若干次，直到结果是个位数为止。输出最终的这个个位数。 解题思路 本题要求计算一个整数的“数根”（Digital Root）。这个问题既可以通过直接模拟，也可以通过一个巧妙的数学性质在常数时间内解决。   模拟法 最直观的方法是按照题目描述进行模拟：  当给定的数字  大于等于  时，我们进入一个循环。 在循环内部，我们计算  的各位数字之和，并用这个和来更新 。 重复这个过程，直到  变成一个小于  的个位数。  这个方法是完全可行的，但对于位数非常多的数字，可能需要多次循环。   数论法（模 9 性质） ...

题目链接 素数三元组 题目描述 给定一个正整数 ，我们称有序三元组  为素数三元组，当且仅当满足下述两条：   均为素数； 。  请你计算，不超过  的素数中，一共有多少个不同的素数三元组  满足上式。 解题思路 这是一个需要结合数论知识和高效算法来解决的计数问题。直接暴力枚举所有不超过  的三个素数组合会非常慢，我们需要找到更优化的方法。   利用奇偶性进行分析 一个关键的突破口在于分析素数的奇偶性。我们知道，唯一的偶素数是 ，其他所有素数都是奇数。  情况一： 和  都是奇素数。此时它们的和  是一个偶数。如果 ，那么  也必须是偶数，这意味着  必须是偶数。唯一的偶素数是 ，所以 。方程...

题目链接 质数统计 题目描述 给定  次询问，每次询问一个闭区间 ，请你输出该区间内质数（素数）的数量。 解题思路 本题要求对多个区间进行质数数量的统计。如果对每个查询都遍历区间  并逐个判断数字是否为质数，当区间很大或查询次数很多时，效率会非常低下，导致超时。 这是一个典型的可以使用预处理和前缀和思想解决的区间查询问题。   预处理质数 首先，我们需要一个高效的方法来判断在一个较大范围内哪些数是质数。埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）是完成这项任务的理想选择。我们可以创建一个布尔数组 ，预先筛出从  到数据上限（例如 ）的所有质数。   构建前缀和数组 为了能够快速查询任意区间  内的质数数量，我们...

题目链接 筛法判断质数 题目描述 给定  个正整数，对于每个整数 ，请你判断  是否为质数（素数）。若是，则输出 Yes，否则输出 No。 解题思路 本题要求对多个数字进行质数判断。如果对每个查询都独立使用试除法（检查从  到  的因子），当查询数量巨大时，总时间复杂度可能会很高，导致超时。 考虑到查询的数字范围是固定的，这是一个典型的可以使用预处理来优化的场景。对于质数判断，最经典高效的预处理算法是埃拉托斯特尼筛法（简称埃氏筛）。   核心思想： 埃氏筛的基本思想是，从最小的质数  开始，依次将其所有倍数标记为“合数”。然后找到下一个未被标记的数（它必然是质数，例如 ），再将其所有倍数标记为...

题目链接 小苯的数字权值 题目描述 定义一个正整数  的权值  为其正因子的数量。现在给定一个正整数 ，你可以将其分解为若干个大于  的正整数的乘积，即 。你的目标是最大化这些因子的权值之和，即最大化 。 解题思路 本题要求找到一种分解方式，使得所有因子的权值（因子数量）之和最大。由于输入  的范围不大（），我们可以采用动态规划并预处理出所有可能答案。   问题分析与DP递推：对于一个数 ，我们可以选择不分解它，得到权值 ；或者将它分解。一个关键的洞察是，任何分解都可以看作是不断分离出质因子的过程。为了构建最优解，我们只需要考虑分离出最小质因子 (Smallest Prime Factor, ...