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考雅思  学习第三语言  支教  acwing  leetcode     架子鼓伴奏一首歌  吉他弹唱一首歌     一个人打篮球  跑马拉松  滑雪  学校游泳馆游泳     自己看一场电影  周杰伦演唱会  ✔的都是低配版完成的..........

05 行列式、07 点积与对偶性、06 逆矩阵、列空间与零空间高斯消元比克莱姆计算得更快  det（A）=0det（A）= 0det（A）=0降维，要么存在无数解要么没有解 det（A）≠0det（A）\neq 0det（A）​=0维数依然相同，一个输入对应一个输出，一个输出也对应一个输入 对大多数线性变换来说，点积会随着变换而改变，不改变点积的矩阵变换是正交的变换，基向量在变换后依然保持单位长度且相互垂直 用正交矩阵求解线性系统非常简单，因为点积保持不变，所以已知的输出向量和矩阵的列向量的点积，分别等同于未知输入向量和各个基向量的点积 \ 对大多数线性方程组：  这个解法就是克莱姆法则

行列式和特征向量与所选坐标系无关，行列式告诉的是一个变换对面积的缩放比例，特征向量则是在变换中留在它所张成的空间中的向量，这二者都是暗含于空间中的性质，自由选取坐标系不会改变它们最根本的值 既不是一个箭头也不是一组数字，但是同样具有向量特性的东西：函数  函数的线性变换有一个完全合理的解释：这个变换接收一个函数并把它变成另一个函数，从微积分中可以找到一个常见的例子——导数。“算子”和“变换”的意思是一样的 一个函数变换是线性的：03 矩阵与线性变换抽象性带来一般性的结论，不仅适用于箭头也适用于函数，满足以下两条性质的变换是线性的：“可加性”和“成比例”  eg：求导是线性运算    多项式空间...

考虑一个线性变换  意味着矩阵对它的作用仅仅是拉伸或者压缩而已，如同一个标量，这些特殊向量被称为变换的“特征向量”，每个特征向量都有一个所属的值，被称为“特征值”  三维旋转中特征值为1时，相当于找到了一个旋转轴 计算特征值和特征向量：  寻找一个向量V，使得这个新矩阵与V相乘结果为零向量06 逆矩阵、列空间与零空间   空间压缩对应的就是矩阵的行列式为0 二维线性变换不一定有特征向量 可能出现只有一个特征值，但特征向量不止在一条直线上    特征基：09 基变换如果基向量恰好是特征向量  变换坐标系使得这些特征向量为基向量  当需要计算次幂的时候，将坐标系换成特征基会方便很多，然后转换回标准...

发生在向量与一组数之间的任意一种转化，都被称为一个坐标系 03 矩阵与线性变换将矩阵乘法理解为应用一个特定的线性变换 变换后的向量仍旧是相同的线性组合，不过使用的是新的基向量  坐标系之间的转换：

叉积的标准介绍   顺序对叉积有影响，v⃗\vec{v}v在w⃗\vec{w}w的右边，那么叉乘为正  v⃗\vec{v}v在w⃗\vec{w}w的左边，那么叉乘为负  05行列式计算叉积：    以线性变换的眼光看叉积  真正的叉积是通过两个三维向量生成一个新的三维向量，这个叉积的结果是一个向量，长度是平行四边形的面积，方向与平行四边形所在的面垂直，使用右手定则确定方向。    why？-对偶性07 点积与对偶性  找到的线性函数对于给定向量的作用：将向量投影到垂直于v和w的直线上，然后将投影长度与v和w张成的平行四边形的面积相乘。这意味着我们找到了一个向量p，使得p与某个向量（x，y，z）...

点积的标准观点：两个相同维数的向量，或两个相同长度的数组，求他们的点积，就是将相应坐标配对，求出每一对的乘积，然后将结果相加  点积与顺序无关 对偶性  多维空间到一维空间（数轴）的线性变换 单位向量的点积可以看成将向量投影到单位向量所在直线上所得到的投影值  非单位向量：投影后缩放 总言之即，向量与给定非单位向量的点积可以解读为，首先将朝给定向量上投影，然后将投影的值与给定向量长度相乘 二维空间到数轴的线性变换通过将空间投影到给定数轴上来定义，因为变换是线性的，则必然可以用某个1x2矩阵描述，又因为1x2矩阵与二维向量相乘的计算过程和转置矩阵并求点积的计算过程相同，所以这个投影变换必然会与某...

哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈突然发现被废弃的账号 我要被之前的头像笑死了哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈