以下函数的时间复杂度和空间复杂度为（）

斐波那契数列: f(n)=f(n-1)+f(n-2); n>=2
f(0)=0; f(1)=1;
即有名的兔子繁衍问题。
斐波那契数列共有三种解法，因而写这篇文章总结一下。
1. 递归求解
递归求解比较简单，是大家常见的一种解法。

关于这种解法，不再赘述，下面主要说下时间复杂度分析。
设f(n)为参数为n时的时间复杂度，很明显：f(n)=f(n-1)+f(n-2)
这就转化为了数学上的二阶常系数差分方程，并且为其次方程。
即转化为了求f(n)的值，f(n)=f(n-1)+f(n-2)且f(0)=0; f(1)=1;
特征方程为：x^2-x-1=0
得 x=(1±√5)/2
因而f(n)的通解为:

由f(0)=0; f(1)=1可解得c_1，c_2
最终可得，时间复杂度为：

2. 第一种解法比较简单，但是多个元素重复计算，因而时间复杂度较高，为了避免重复计算，可进行循环计算减少时间复杂度

int Fibonacci(int n) { if (n<=0) { return 0;
        } if (n==1) { return 1;
        } int min=0; int max=1; int i=2; int result=0; while (i<=n) {
            result=min+max; min=max; max=result;
            ++i;
        } return result;
    }

第二种算法时间复杂度为O(n)
3. 还有一种时间复杂度更低的算法。
根据上面的递归公式，我们可以得到

因而计算f(n)就简化为了计算矩阵的(n-2)次方，而计算矩阵的(n-2)次方，我们又可以进行分解，即计算矩阵(n-2)/2次方的平方，逐步分解下去，由于折半计算矩阵次方，因而时间复杂度为O(log n)
具体代码实现如下：

// //  main.cpp //  fibonaccimatrix // //  Created by shunagao on 15/8/31. //  Copyright © 2015年 shunagao. All rights reserved. // #include <iostream> using namespace std; class Matrix
{ public: int n; int **m;
    Matrix(int num)
    {
        m=new int*[num]; for (int i=0; i<num; i++) {
            m[i]=new int[num];
        }
        n=num;
        clear();
    } void clear()
    { for (int i=0; i<n; ++i) { for (int j=0; j<n; ++j) {
                m[i][j]=0;
            }
        }
    } void unit()
    {
        clear(); for (int i=0; i<n; ++i) {
            m[i][i]=1;
        }
    }
    Matrix operator=(const Matrix mtx)
    {
        Matrix(mtx.n); for (int i=0; i<mtx.n; ++i) { for (int j=0; j<mtx.n; ++j) {
                m[i][j]=mtx.m[i][j];
            }
        } return *this;
    }
    Matrix operator*(const Matrix &mtx)
    {
        Matrix result(mtx.n);
        result.clear(); for (int i=0; i<mtx.n; ++i) { for (int j=0; j<mtx.n; ++j) { for (int k=0; k<mtx.n; ++k) {
                    result.m[i][j]+=m[i][k]*mtx.m[k][j];
                }   
            }
        } return result;
    }
}; int main(int argc, const char * argv[]) { unsigned int num=2;
    Matrix first(num);
    first.m[0][0]=1;
    first.m[0][1]=1;
    first.m[1][0]=1;
    first.m[1][1]=0; int t; cin>>t;
    Matrix result(num);
    result.unit(); int n=t-2; while (n) { if (n%2) {
            result=result*first;
            }
        first=first*first;
        n=n/2;
    } cout<<(result.m[0][0]+result.m[0][1])<<endl; return 0;
}