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已知正方形ABCD的边长为1，当时，的最小值为[$##$]，

[填空题]

已知正方形ABCD的边长为1，当 $\lambda_i(i=1,2,3,4,5,6)\in\{-1,1\}$ 时， $|\lambda_1\vec{AB}+\lambda_2\vec{BC}+\lambda_3\vec{CD}+\lambda_4\vec{DA}+\lambda_5\vec{AC}+\lambda_6\vec{BD}|$ 的最小值为1，最大值为2。

注意1：答案中不要有空格或乘号！

注意2：如有平方根运算，根号用sqrt函数表示。

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pein531

lambda的取值只能为-1或1，说明我们仅能决定是否调转每个向量的方向。

（1）BD+AC的方向与BC相同，|BD+AC| = 2|BC|，因此我们可以调转BC的方向，即lambda2=-1，此时AC+BD-BC+DA = 0，还剩下AB+CD=0，两个向量的方向相反，长度相同，相互抵消。因此，最小模长可以取得0。

（2）改变（1）中的情况，我们不调转BC的方向，而调转DA的方向，即lambda4=-1，此时AC+BD+BC-DA = 2(AC+BD)，|AC+BD+BC-DA|= 2|AC+BD| = 4|BC| = 4；再调转CD的方向，即lambda3=-1，使得其与AB保持同向，则|AB-CD| = 2|AB| = 2，此时AB+BC-CD-DA+AC+BD| = sqrt(4^2+2^2) = sqrt(20) = 2sqrt(5)，为最大模长。

发表于 2020-10-19 14:15:43 回复(0)