你是一家互联网大厂的数据科学家，正在参与一个客户细分项目。你的任务是基于客户的行为数据，识别出不同类型的客户群体，以便制定个性化的营销策略。由于数据具有复杂的分布形态，传统的聚类算法（如 K-Means）无法有效地捕捉数据的潜在结构。你决定使用高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）来对数据进行聚类。 请你编写一个程序，使用 NumPy 和 SciPy 库，对给定的二维数据集进行基于期望最大化算法（EM算法）的高斯混合模型聚类。具体要求如下： 1. 读取输入数据集，包含 ( N ) 个数据点，每个数据点有两个特征（二维坐标）。 2. 读取高斯混合模型的参数：聚类数 ( K )、迭代次数 ( T )。 3. 初始化模型参数： • 均值向量 ( ) 初始化为随机从数据点中选择。 • 协方差矩阵 ( ) 初始化为单位矩阵，不需要对协方差矩阵正则化。 • 混合系数 ( ) 初始化为均等分布。 4. 使用 EM 算法迭代 ( T ) 次，每次包括： • E 步骤：计算每个数据点属于每个高斯成分的后验概率（责任度）。 • M 步骤：更新模型参数 ( )、( )、( )。 5. 在迭代完成后，根据最大后验概率，为每个数据点分配聚类标签。 6. 输出每个数据点的聚类标签，标签为从 0 开始的整数。
输入描述:
• 第一行包含一个整数 ( N )，表示数据点的数量。 • 接下来的 ( N ) 行，每行包含两个浮点数，表示数据点的二维坐标，用空格分隔。 • 最后一行包含两个整数 ( K ) 和 ( T )，用空格分隔。
输出描述:
• 输出 ( N ) 行，每行包含一个整数，表示对应数据点的聚类标签。
示例1
输入
8
1.0 2.0
2.0 1.0
1.5 1.5
8.0 8.0
9.0 8.0
8.5 9.0
0.0 0.0
9.0 9.0
2 10
备注:
• 高斯混合模型（GMM）高斯混合模型是由多个高斯分布的线性组合而成，用于描述数据的概率分布。GMM 的概率密度函数为：其中： • ( K ) 是高斯成分的数量（聚类数）。 • ( ) 是第 ( k ) 个高斯成分的混合系数，满足 ()。 • ( ) 是均值为 ( )、协方差为 () 的多元高斯分布。多元高斯分布公式为：\;=\;\frac{1}{(2\pi)^{\frac{D}{2}}\;\bigl\boldsymbol{\Sigma}\bigr^{\frac{1}{2}}}\;\exp\!\Bigl(\!-\tfrac12\,(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^{\mathsf{T}}\;\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\;(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\Bigr)," 其中：• 表示 D 维随机向量；• 为均值向量；• 为协方差矩阵（对称正定矩阵）；• 表示协方差矩阵 \boldsymbol{\Sigma} 的行列式；• 表示协方差矩阵的逆矩阵。• E 步骤（Expectation）：计算第 ( i ) 个数据点属于第 k 个高斯成分的后验概率（责任度）：{\sum_{j=1}^{K} \pi_j \mathcal{N}(\mathbf{x}_i \mid \mu_j, \Sigma_j)}" • M 步骤（Maximization）：更新模型参数：其中， 。• 在 E 步骤计算责任度时，可能会遇到数值下溢的问题。可以在计算概率密度时添加一个小的常数，如 1e-6，防止除零错误。• 由于初始化和算法中涉及随机性，为了保证结果的一致性，请在程序中设置随机种子：np.random.seed(0)
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