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米哈游-2025.10.26

题目一：基因序列修复

1️⃣：枚举所有长度为 26 的子串

2️⃣：逐位比较每个子串与目标字母序列的差异

3️⃣：统计不同字符数作为修改次数，取最小值

难度：中等

这道题的核心在于理解题目要求和使用滑动窗口技巧。关键观察是目标序列长度固定为 26，因此只需枚举所有长度为 26 的子串，比较每个子串与"abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"的差异，统计需要修改的字符数即可。时间复杂度 ，对于给定的数据范围完全可以接受。

题目二：能量场扩张计划

1️⃣：检查原始能量波动值是否已满足条件

2️⃣：观察增幅操作的特性，选择包含右端点的区间最优

3️⃣：枚举区间长度，找到最小的满足条件的长度

难度：中等

这道题需要理解增幅操作的数学性质。关键观察是增幅操作只能增加数值，且为了最大化波动值，应该选择包含数组最右端点的区间进行增幅。通过数学推导，将问题转化为枚举区间长度，找到第一个使波动值超过阈值的长度。算法简洁高效，时间复杂度 。

题目三：网络延迟统计

1️⃣：通过 DFS 建立树的父子关系和遍历序列

2️⃣：使用树形 DP 计算每个节点的子树信息

3️⃣：维护子树大小、距离和、节点对距离和三个状态

4️⃣：后序遍历合并子树信息，O(1) 回答查询

难度：中等偏难

这道题是经典的树形动态规划问题。难点在于设计合适的状态和状态转移方程。通过维护子树大小、节点到子树内所有节点的距离和、子树内所有节点对的距离和这三个信息，可以高效地合并子树。关键技巧是在合并不同子树时，计算跨子树的节点对距离贡献。预处理 ，每次查询 ，总时间复杂度 。

01. 基因序列修复

问题描述

K 小姐在生物实验室工作，她正在研究一段特殊的基因序列。实验室要求基因样本中必须包含完整的 26 个字母标记序列"abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"（按顺序排列）才能进行下一步实验。

现在 K 小姐手中有一段长度为 的基因序列 ，序列仅由小写字母组成，下标从 开始。她可以使用基因编辑技术对序列进行修复：

• 选择一个位置 ，将 修改为任意小写字母。

每次修改都需要耗费一定的实验成本。请帮助 K 小姐计算，最少需要修改多少个位置，才能让基因序列中出现完整的 26 字母标记序列"abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"。

名词解释

• 子串：子串为从原字符串中连续地选择一段字符（可以全选、可以不选）得到的新字符串。

输入格式

第一行包含一个整数 ，表示测试数据组数。

接下来每组测试数据包含两行：

• 第一行包含一个整数 ，表示基因序列的长度。

• 第二行包含一个长度为 、仅由小写字母构成的字符串 。

保证所有测试数据中 的总和不超过 。

输出格式

对于每组测试数据，输出一行一个整数，表示最少的修改次数。

如果基因序列长度不足以包含完整的 26 字母标记序列，输出 。

样例输入

3
37
abcdefghijklmnopqrstuvwxyzzzzzzzzzzzz
26
bcdefghijkimnopqrstuvwxyza
25
abcdefghijklmnopqrstuvwxy

样例输出

0
26
-1

样例	解释说明
样例1	基因序列前 26 个字符已经是完整的字母序列，无需修改
样例2	无论选择哪个长度为 26 的子串，都需要修改全部 26 个字符才能得到目标序列
样例3	基因序列长度不足 26，无法包含完整的字母序列

数据范围

• 

• 

• 

题解

这道题的核心思路是利用滑动窗口来枚举所有可能的长度为 26 的子串，然后计算每个子串与目标字母序列"abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"的差异。

首先需要判断特殊情况：如果基因序列长度 ，那么无论如何都不可能包含长度为 26 的子串，直接输出 。

对于长度足够的基因序列，关键观察是：要让序列中包含完整的 26 字母序列，我们需要找一个连续的长度为 26 的位置，把它修改成"abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"。为了最小化修改次数，应该选择一个与目标序列最相似的位置。

具体做法：

1. 枚举所有可能的起始位置 （从 0 到 ）
2. 对于每个起始位置，检查子串 与目标字母序列的差异
3. 统计有多少个位置的字符不同，这就是修改该子串所需的次数
4. 取所有可能位置中的最小值

时间复杂度分析：外层循环遍历 个起始位置，内层循环比较 26 个字符，总时间复杂度为 。由于所有测试数据的 总和不超过 ，这个复杂度完全可以接受。

有一个小优化：如果在枚举过程中发现某个位置已经完全匹配（修改次数为 0），可以直接输出 0 并结束，无需继续枚举。

参考代码

• Python

import sys
input = lambda: sys.stdin.readline().strip()

def solve():
    # 读取测试组数
    T = int(input())
    # 目标字母序列
    tgt = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"
    
    for _ in range(T):
        # 读取序列长度和内容
        n = int(input())
        seq = input()
        
        # 长度不足26，无法包含完整序列
        if n < 26:
            print(-1)
            continue
        
        # 初始化最小修改次数为26（最坏情况）
        res = 26
        
        # 枚举所有长度为26的子串
        for i in range(n - 25):
            # 统计当前子串与目标的差异
            cnt = 0
            for j in range(26):
                if seq[i + j] != tgt[j]:
                    cnt += 1
            # 更新最小值
            res = min(res, cnt)
            # 如果已经完美匹配，直接退出
            if res == 0:
                break
        
        print(res)

if __name__ == "__main__":
    solve()

• Cpp

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int T;
    cin >> T;
    
    // 目标字母序列
    string tgt = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";
    
    while (T--) {
        int n;
        string seq;
        cin >> n >> seq;
        
        // 长度不足26，无解
        if (n < 26) {
            cout << -1 << "\n";
            continue;
        }
        
        // 初始化答案为最大可能值
        int ans = 26;
        
        // 滑动窗口：枚举所有起始位置
        for (int i = 0; i + 26 <= n; i++) {
            int diff = 0;
            // 逐位比较当前窗口与目标序列
            for (int j = 0; j < 26; j++) {
                if (seq[i + j] != tgt[j]) {
                    diff++;
                }
            }
            // 更新最小修改次数
            ans = min(ans, diff);
            // 完美匹配，提前退出
            if (ans == 0) break;
        }
        
        cout << ans << "\n";
    }
    
    return 0;
}

• Java

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter pw = new PrintWriter(System.out);
        
        int T = Integer.parseInt(br.readLine());
        // 目标字母序列
        String target = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";
        
        while (T-- > 0) {
            int n = Integer.parseInt(br.readLine());
            String seq = br.readLine();
            
            // 长度不足26，输出-1
            if (n < 26) {
                pw.println(-1);
                continue;
            }
            
            // 记录最少修改次数
            int minCnt = 26;
            
            // 遍历所有可能的长度为26的子串
            for (int i = 0; i + 26 <= n; i++) {
                int diffCnt = 0;
                // 统计当前子串与目标的差异数
                for (int j = 0; j < 26; j++) {
                    if (seq.charAt(i + j) != target.charAt(j)) {
                        diffCnt++;
                    }
                }
                // 更新最小值
                minCnt = Math.min(minCnt, diffCnt);
                // 找到完美匹配，直接跳出
                if (minCnt == 0) break;
            }
            
            pw.println(minCnt);
        }
        
        pw.flush();
        pw.close();
    }
}

02. 能量场扩张计划

问题描述

A 先生正在开发一个能量场系统。系统中有 个能量节点，按位置从左到右排列，每个节点有一个能量值 ，满足非严格递增关系（即 ）。

为了提升系统的能量波动范围，A 先生可以选择对连续的一段节点进行能量增幅操作，且这个操作至多执行一次：

• 选择区间 ，对每个位置 的节点，将其能量值增加 ，其中 是系统预设的增幅系数。

也就是说，区间内靠右的节点会获得更多的能量增幅。

A 先生希望知道，要使得操作后整个系统的能量波动值（最大能量值与最小能量值之差）严格大于 ，至少需要选择多长的区间进行增幅。如果不进行操作也能满足条件，输出 ；如果无论如何都无法满足条件，输出 。

名词解释

• 能量波动值：数组中最大值与最小值的差值，例如能量序列 的波动值为 。

输入格式

第一行包含一个整数 ，表示测试数据组数。

每组测试数据包含两行：

• 第一行包含三个整数 ，分别表示节点数量、目标波动值和增幅系数。

• 第二行包含 个非严格递增的整数 ，表示各节点的初始能量值。

保证所有测试数据中 。

输出格式

对于每组测试数据，输出一行一个整数，表示满足条件的最小区间长度。如果原始状态已满足条件，输出 ；如果无法满足条件，输出 。

样例输入

3
4 5 2
1 3 5 7
3 10 1
2 6 8
3 8 5
1 2 3

样例输出

0
-1
2

样例	解释说明
样例1	原始能量序列波动值为 ，已满足条件，无需操作
样例2	原始波动值为 ，即使选择最长的增幅区间，也无法使波动值超过 10
样例3	选择长度为 2 的区间 进行增幅， 增加 变为 12， 增加 变为 8，波动值变为

数据范围

• 

• 

• 

• 

• 

• 

题解

这道题的关键在于观察增幅操作的特性，找出最优策略。

首先，如果原始序列的波动值 已经大于 ，那么无需任何操作，直接输出 。

接下来分析如何通过增幅操作最大化波动值。注意到：

1. 增幅操作只能增加能量值，不能减少
2. 序列本身是非严格递增的
3. 增幅后，区间内靠右的位置增加更多

为了最大化波动值 ，有两种思路：

• 最大化最大值：应该选择包含最右端点 的区间
• 最小化最小值：由于只能增加不能减少，最小值始终是

因此最优策略是选择形如 的右端区间，这样可以让 获得最大增幅。

假设选择长度为 的区间 ，那么：

• 区间左端点 会增加
• 新的最大值为
• 最小值仍为
• 新的波动值为

我们需要找最小的 ，使得：

注意区间长度不能为 （至少要保留一个位置不增幅，否则波动值不变）。

可以从 开始枚举，找到第一个满足条件的长度。如果枚举完所有长度都不满足，输出 。

时间复杂度：每组数据 ，总复杂度 ，可以通过。

参考代码

• Python

import sys
input = lambda: sys.stdin.readline().strip()

def solve():
    # 读取测试组数
    T = int(input())
    
    for _ in range(T):
        # 读取参数
        n, d, k = map(int, input().split()