A. Hard KMP Problem

记录两个串中每种字符的出现次数为 。计算 即可。

B. Sum Gcd

有很多种做法，其中一种是： 是积性函数，因此，上式在 时满足 。特别注意 的时候单独计算。

C. Future Machine

考虑三个数 ，考虑操作可以变成 。

那么考虑枚举 ，如果 ，那么操作 次以后一定还满足 。记 分别为 数组的最小值和最大值，不难发现 固定时进行 次操作后 。同理对 的情况也有类似结论。

因此 模拟一遍即可解决问题。

D. Binary String Game

可以证明当 时，有如下结论：

当 为偶数时，可以到达任何一个 1 个数奇偶性不变的状态。

当 为奇数时，可以到达任何一个状态。

确定一个方案之后可以使用类似 bfs 或者 dfs 的手段求出某个包含 个 1 的状态。

当然其实最简单的方法还是我们手动构造。

发现不管什么情况下我们都可以用两次操作恰好翻转 格。那么当我们需要选的 的个数是偶数的时候就做完了，如果是奇数，先翻翻翻到只剩一个，最后这一个跟另外任意 个组成一组再翻一次，那么接下来就要把 个翻回去，而 是偶数所以做完了。

E. Slove Equations

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然后这个东西其实也是可逆的，所以可以直接维护前缀信息，注意维护无解和多解的情况。

F. The Closest Pair

。

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枚举 以及 ，合法的 在值域上是一个区间。考虑 所在的下标 ，以及右侧的一个合法的 下标为 ，设 右侧的另一个合法的 所在的位置为 ，当 比 优秀则需要满足 ，同时又因为 需要比 优秀，因此可以加紧限制考虑 。左右分别只有 对。

这样我们扣出 对可能成为答案的点对之后扫描线即可。