数理基础/概率计算相关面试题汇总

数理基础

1、ARIMA模型原理(猿辅导)

ARIMA由AR（自回归）、I（差分）、MA（移动平均）三个部分组成。

1） AR模型

自回归描述的是序列中历史观测值与当前值拥有紧密的关系，可以通过历史值对当前值进行预测，AR模型将当前值看作p阶历史观测值的线性组合：

其中 为随机扰动项。

2） MA模型

若序列中当前值不考虑其与历史观测值的关系，而基于历史的扰动白噪声即过去的残差项，MA模型将当前值看作q阶历史白噪声的线性组合：

3） ARIMA模型

由AR和MA模型组合形成ARMA模型：

如果一个序列是平稳的，可以考虑采用ARMA模型对序列值进行预测。但是如果序列是不平稳的，需要先经过d阶差分，再基于ARMA模型进行预测，即ARIMA模型。综上所述，ARIMA模型关键参数是（p、d、q），通过这三个参数可以对该模型进行有效的调整。

2、几何平均是什么？（滴滴）

参考答案

几何平均数是一种均值，等于n个变量值乘积的n次方根，多用于计算平均比率、平均速度等。主要分为简单几何平均和加权几何平均。

答案解析

简单几何平均：

加权几何平均：

其主要特点有：

（1）受极端值影响较小，小于算术平均数；

（2）若变量值有负数，计算出的几何平均数可能会出现负数或虚数；

（3）仅适用于等比或近似等比关系的数据；

（4）几何平均数的对数是个变量值对数的算术平均数。

3、协方差的定义？（滴滴）

参考答案

协方差（Covariance）用于衡量两个随机变量的联合变化程度。如果变量X的较大值主要与另一个变量Y的较大值相对应，而两者的较小值也相对应，则可以说，两个变量倾向于表现出相似的行为，协方差为正。在相反的情况下，当一个变量的较大值主要对应于另一个变量的较小值时，则两变量倾向于表现出相反的行为，协方差为负。协方差为0的两个随机变量称为是不相关的。

答案解析

协方差公式：

协方差图像：

协方差的性质：

概率计算

1、贝叶斯定理是什么？（滴滴）

参考答案

贝叶斯定理（Bayes' theorem）是概率论中的一个定理，描述在已知条件下，某事件的发生概率。通常，事件A在事件B已发生的条件下发生的概率，与事件B在事件A已发生的条件下发生的概率是不一样的。然而，这两者是有确定的关系的，贝叶斯定理就是这种关系的陈述。贝叶斯公式的一个用途，即透过已知的三个概率而推出第四个概率。贝叶斯定理跟随机变量的条件概率以及边际概率分布有关。

答案解析

贝叶斯定理涉及到的相关公式如下：

（1）全概率公式：

（2）双状态下的贝叶斯公式：

（3）多状态下的的贝叶斯公式：

贝叶斯定理常用在信息检索、文本分类、疾病检测等场景。

应用举例（疾病检测）：

假设一个常规的检测结果的灵敏度和特异度均为99%，即患病者每次检测呈阳性（+）的概率为99%，而未患病者每次检测呈阴性（-）的概率为99%。假设医院对全体就诊人员进行疾病检测，已知0.5%的就诊者患病，请问每位检测结果呈阳性的就诊者患病的概率有多高？

令“D”为就诊人员患病事件，“N”为就诊人员未患病事件，“+”为检测呈阳性事件，则某人检测呈阳性时确实患病的条件概率为：