数论——唯一分解定理

我数论这学的是真烂啊。。。
又得借练习赛补老番……

在这里插入图片描述
任意一个大于0的正整数都能被表示成若干个素数的乘积且表示方法是唯一的。这就是唯一分解定理。

用于求 因子和 和 因子个数 。

求因子和

模板

//以线性筛为基础

int jet_num[N];//用来记录素数的幂是多少的

ll get_yin_zi_sum(ll n)
{
    ll ans = 1;
    for(int i = 1; (ll) prime[i] * prime[i] <= n; i++){
        if(!(n % prime[i])){
            ll jet = 1, sum = 1;
            while(!(n % prime[i])){
                jet_num[prime[i]]++;
                jet *= prime[i];
                sum += jet;
                n /= prime[i];
            }
            ans *= sum;
        }
    }
    if(n > 1) {
        jet_num[n]++;
        ans *= (n + 1);
    }
    return ans;
}

五十弦翻塞外声

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int N=1e6+5;
int  cnt, prime[N], pre[N];
bool flag[N];

using namespace std;

void init()
{
    memset(flag,1,sizeof(flag));
    flag[1]=cnt=0;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(flag[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            pre[i]=cnt;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;j++)
        {
            flag[prime[j]*i]=0;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}

ll get_yin_zi_sum(ll n)
{
    ll ans = 1;
    for(int i = 1; (ll) prime[i] * prime[i] <= n; i++){
        if(!(n % prime[i]))
        {
            ll jet = 1, sum = 1;
            while( !(n % prime[i]) )
            {
                jet *= prime[i];
                sum += jet;
                n /= prime[i];
            }
            ans *= sum;
        }
    }
    if(n > 1) ans *= (n + 1);
    return ans;
}

void solve()
{
    ll x;
    scanf("%lld", &x);
    printf("%lld\n", get_yin_zi_sum(x));
}
int t;
int main()
{
    init();
    scanf("%d", &t);
    while(t--){
        solve();
    }
    return 0;
}

以 $n = 12$ 举例

$i = 1$ , $prime[i] = 2$ , $jet = 2$ , $sum = (1 + 2)$ , $n = 6$
$i = 1$ , $prime[i] = 2$ , $jet = 4$ , $sum = (1 + 2 + 2^2)$ , $n = 3$
此时(n % prime[i]) != 0，弹出 $while$ , $ans = (1 + 2 + 2^2)$
$i = 2$ , $prime[i] = 3$ , $prime[i]^2 > n$ , 故 $break$
$n = 3 > 1$ , $ans = (1 + 2 + 2^2) * (1 + 3)$

求因子个数

模板

//以线性筛为基础
ll get_yin_zi_num(ll n)
{
    ll ans = 1;
    for(int i = 1; (ll) prime[i] * prime[i] <= n; i++){
        if(!(n % prime[i])){
            ll  cnt = 0;
            while(!(n % prime[i])){
                cnt ++;
                n /= prime[i];
            }
            ans *= (1 + cnt);
        }
    }
    if(n > 1)  ans *= 2;
    return ans;
}

//不以线性筛为基础
ll get_yin_zi_num(ll n){
    ll ans = 1;
    for(ll i = 2; i * i <= n; i++){
        if( !(n % i)){
            ll cnt = 0;
            while(!(n % i)){
                cnt ++;
                n /= i;
            }
            ans *= (1 + cnt);
        }
    }
    if(n > 1) ans *= 2;
    return ans;
}

Vae_1118的行列式

题意是求 $a- 1$ 的因子个数。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int N=1e6+5;
int  cnt,prime[N],pre[N];
bool flag[N];

using namespace std;

void init()
{
    memset(flag,1,sizeof(flag));
    flag[1]=cnt=0;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(flag[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            pre[i]=cnt;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=N;j++)
        {
            flag[prime[j]*i]=0;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}

ll get_yin_zi_num(ll n)
{
    ll ans = 1;
    for(int i = 1; (ll) prime[i] * prime[i] <= n; i++){
        if(!(n % prime[i])){
            ll  cnt = 0;
            while(!(n % prime[i])){
                cnt ++;
                n /= prime[i];
            }
            ans *= (1 + cnt);
        }
    }
    if(n > 1)  ans *= 2;
    return ans;
}
int t,mod;

void solve()
{
    ll x;
    scanf("%lld", &x);
    printf("%lld\n", get_yin_zi_num(x - 1) % mod);
}

int main()
{
    init();
    scanf("%d%d", &t, &mod);
    while(t--){
        solve();
    }
    return 0;
}

以 $a = 12$ 举例