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B_k
2019-10-12 09:41
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沈阳航空航天大学
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小白鼠问题(海明码)
小白鼠问题(海明码)
同学问了一道智力题:30瓶水,其中有一瓶毒药,小白鼠喝了毒药之后一天会死,求只有一天时间,用最少的小白鼠找出毒药?
很简单的我就想到了海明码:
数位
数值
C1
00001
C2
00010
C4
00100
C8
01000
C16
10000
\(C1=A1⊕A3⊕A5...⊕A29\)
\(C2=A2⊕A3⊕A5...⊕A30\)
\(C4=A4⊕A5⊕A5...⊕A30\)
\(C8=A8⊕A9⊕A10...⊕A30\)
\(C16=A16⊕A17⊕A518.⊕A30\)
我们将A看作水,将水从1编号到30。C作为混合水,也就是将对应编号的水混合成5瓶水,对应C16C8C4C2C1。每瓶水用一只小白鼠实验(残忍),哪只死亡,哪只对应编号为1。例如,C8,C4死亡,那么对应二进制数为0110,也就是十进制12,代表12号水有毒。
如果推广到n瓶水呢?当:
\[2^x-1>=n\]
时,可以满足需求。即:
\[x>=log_2 (n+1)\]
所需小白鼠数量为大于等于以2为底n+1的对数的最小整数。
但是这个是使用一切情况吗?当n=1时,x=1。但是实际上,一杯水不需要验证,他就是有毒的。所以我发现当:
\[n=2^x\]
时是一种特殊情况。例如,当n=32时,我可以把标号为32的水拿出,剩余31瓶可以按照如上方法求出答案,只是多出一种00000的情况,说明前31瓶水都无毒。那么拿出的32号水肯定有毒!
所以正确的公式应为:
\[2^x>=n\]
即:
\[x>=log_2 n\]
所需小白鼠数量为大于等于以2为底n的对数的最小整数。这是推广到n时的正解。
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mamazi00:
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