【离散数学中的数据结构与算法】七 排列与组合三

• 前两篇文章学习了不可重复选取的排列与可重复选取的可重排列。本篇文章开始学习组合的相关定理。

文章目录

• 1 组合
• 1.1 组合的计算公式
• 2 总结

1 组合

跟排列一样。组合也分为不重复选取的组合，与可重复选取的可重组合。本节内容主要学习不可重复选取的组合

从 n 个不同元素中取 r 个不重复的元素组成一个子集， 而不考虑其元素的顺 序 ， 称 为 n 取 r 的 组 合 （ r -combination） ， 该子集称作 r -子集（r-subset） 。 n 取 r 组合的全体构成的集合用 C(n, r) 表示， 其元素个数用*C(n, r)*表示。（为了便于书面理解，以后都用C(n, r)表示元素个数）

1. 例一

设集合 A={a, b, c, d}， 则 A 上的所有4取3的组合是：

1.1 组合的计算公式

一般的有：

• C(n, r) * r! = P(n, r)

当n >= r时， C(n, r)=C(n, n-r)

1. 例二

一个社团共有10名成员，从中选出3人组成指导委员会，则共有C(10, 3)=120种方法。（注意与之前的排列进行比较，这里直选三人，不确定这三人的职位，所以这三人不用再排列）

1. 简单的格格问题：

从(0, 0)点出发沿 x 轴或 y 轴的正方向每步走一个单位，最终走到 (m, n) 点， 有多少条路径？

总共有8次向上走，10次向右走，一共走18步。只要在这18步中选择8步作为向上走（或者选择10步作为向右走即可，并且选择的步数不用有顺序）。所以答案为C（10+8 ， 8） 或者C（10+8， 10）

1. 例三：

回到曾经学习排列的时候遇见过的问题：由a, b, b, e, e, h, i, s, s, t, t, t可以组成多少个长度为12的字符串？

当时学习排列的时候我们已经学会使用排列的知识去计算，现在我们学习了组合的公式，我们还可以使用组合的公式进行计算。如下分析：

• 首先先将三个t选择三个位置存放：
  
  这就是C（12,3）种方法

• 然后再剩余的9个位置选两个位置存放s：
  
  这就是C（9,2）种方法

• 剩余的7个位置选两个位置存放e：
  
  C(7, 2) 种可能

• 剩余的5个位置选两个位置存放b：
  
  C(5, 2) 种可能

• 然后最后剩余三个字符：a,h,i ，剩余三个空白位置：
  
  对剩余三个位置进行全排列：3！种可能。

所以最终有：C(12, 3) * C(9, 2) * C(7, 2) * C(5, 2) * 3!=9979200 种可能 这与之前我们学习排列的时候计算的结果是一样的。

2 总结

• 学会不可重复选取的组合的计算公式